Минимальный контроль энергии - Minimum energy control

В теория управления, то минимальный контроль энергии это контроль ${displaystyle u(t)}$ что принесет линейный инвариант во времени систему до желаемого состояния с минимальными затратами энергии.

Пусть линейная инвариантная во времени (ЛВВ) система имеет вид

${displaystyle {dot {mathbf {x} }}(t)=Amathbf {x} (t)+Bmathbf {u} (t)}$

${displaystyle mathbf {y} (t)=Cmathbf {x} (t)+Dmathbf {u} (t)}$

с начальным состоянием ${displaystyle x(t_{0})=x_{0}}$. Один ищет вход ${displaystyle u(t)}$ так что система будет в состоянии ${displaystyle x_{1}}$ вовремя ${displaystyle t_{1}}$, и для любого другого входа ${displaystyle {ar {u}}(t)}$, который также прогоняет систему от ${displaystyle x_{0}}$ к ${displaystyle x_{1}}$ вовремя ${displaystyle t_{1}}$, расход энергии будет больше, т.е.

${displaystyle int _{t_{0}}^{t_{1}}{ar {u}}^{*}(t){ar {u}}(t)dt geq int _{t_{0}}^{t_{1}}u^{*}(t)u(t)dt.}$

Чтобы выбрать этот вход, сначала вычислите управляемость по грамиану

${displaystyle W_{c}(t)=int _{t_{0}}^{t}e^{A(t- au )}BB^{*}e^{A^{*}(t- au )}d au .}$

Предполагая ${displaystyle W_{c}}$ невырожден (если и только если система управляема), минимальное управление энергией тогда

${displaystyle u(t)=-B^{*}e^{A^{*}(t_{1}-t)}W_{c}^{-1}(t_{1})[e^{A(t_{1}-t_{0})}x_{0}-x_{1}].}$

Подстановка в раствор

${displaystyle x(t)=e^{A(t-t_{0})}x_{0}+int _{t_{0}}^{t}e^{A(t- au )}Bu( au )d au }$

проверяет достижение состояния ${displaystyle x_{1}}$ в ${displaystyle t_{1}}$.

Смотрите также

• Теория систем LTI
• Техника управления
• Пространство состояний (элементы управления)