Набор мультиброт - Multibrot set

Воспроизвести медиа

Нажмите, чтобы воспроизвести видео с мультибротом, установленным с d меняется с 0 на 8

В математике мультиброт набор это набор значений в комплексная плоскость абсолютное значение которого остается ниже некоторого конечного значения на протяжении итераций членом общего однозначный одномерный многочлен семья рекурсии.^[1][2][3] Имя это чемодан множества и Набор Мандельброта. То же самое можно сказать и о Юля набор, это называется мульти-Юлия набор.

${displaystyle zmapsto z^{d}+c.,}$

куда d ≥ 2. Показатель d могут быть далее обобщены на отрицательные и дробные значения.^[4]

Примеры^[5][6]

Случай

${displaystyle d=2,}$

это классика Набор Мандельброта от которого и произошло название.

Наборы для других значений d также показывать фрактальные изображения^[7] когда они нанесены на комплексную плоскость.

Каждый из примеров различных сил d показанное ниже построено в том же масштабе. Ценности c принадлежащие набору черные. Ценности c которые имеют неограниченное значение при рекурсии и, таким образом, не принадлежат набору, отображаются разными цветами, которые отображаются в виде контуров, в зависимости от количества рекурсий, которые привели к превышению значения фиксированной величины в алгоритме Escape Time.

Положительные силы

Пример d = 2 - исходное множество Мандельброта. Примеры для d > 2 часто называют мультиброт наборы. Эти множества включают начало координат и имеют фрактальные периметры, причем (d - 1) -кратный вращательная симметрия.

z ↦ z^2 + c

z ↦ z^3 + c

z ↦ z^4 + c

z ↦ z^5 + c

z ↦ z^6 + c

z ↦ z^96 + c

z ↦ z^96 + c деталь x40

Отрицательные силы

Когда d отрицательно, множество окружает, но не включает начало координат. Интересно сложное поведение контуров между множеством и началом координат в звездообразной области с (1 − d)-складывать вращательная симметрия. Кажется, что наборы имеют круговой периметр, однако это всего лишь артефакт фиксированного максимального радиуса, разрешенного алгоритмом Escape Time, и не является пределом наборов, которые фактически простираются во всех направлениях до бесконечности.

z ↦ z^−2 + c

z ↦ z^−3 + c

z ↦ z^−4 + c

z ↦ z^−5 + c

z ↦ z^−6 + c

Дробные полномочия

Отрисовка по экспоненте

Альтернативный метод - визуализировать экспоненту по вертикальной оси. Для этого требуется либо зафиксировать реальное, либо мнимое значение, а оставшееся значение отобразить по горизонтальной оси. Результирующий набор поднимается вертикально от начала координат в узком столбце до бесконечности. Увеличение показывает возрастающую сложность. Первая заметная выпуклость или шип виден при показателе степени 2, месте расположения традиционного набора Мандельброта в его поперечном сечении. Третье изображение здесь отображается на плоскости, которая зафиксирована под углом 45 градусов между реальной и мнимой осями.^[8]

Мультиброт отрисован с реальным значением по горизонтальной оси и экспонентой по вертикальной оси, мнимое значение зафиксировано на нуле

Мультиброт отрисован с мнимым значением по горизонтальной оси и экспонентой по вертикальной оси, реальное значение зафиксировано на нуле

Мультиброт визуализирован с экспонентой на вертикальной оси в плоскости, расположенной под углом 45 градусов между действительной и мнимой осями.

Рендеринг изображений

Все приведенные выше изображения визуализируются с использованием алгоритма Escape Time, который просто определяет точки за пределами набора. Гораздо больше фрактальных деталей раскрывается при нанесении Показатель Ляпунова,^[9] как показано в примере ниже. Показатель Ляпунова - это скорость роста ошибки данной последовательности. Сначала вычислите итерационную последовательность с N итераций, затем вычислите показатель как

${displaystyle lambda =lim _{N o infty }{frac {1}{N}}ln |mathbf {z} |}$

и если показатель отрицательный, последовательность устойчива. Белые пиксели на картинке - это параметры c для которых показатель положительный, иначе говоря, нестабильный. Цвета показывают периоды циклов, к которым притягиваются орбиты. Все точки, окрашенные в синий цвет (снаружи), притягиваются фиксированной точкой, все точки в середине (светло-синие) притягиваются циклом периода 2 и так далее.

Увеличенный первый квадрант мультиброта, установленного для итерации z ↦ z⁻² + c визуализируется с помощью алгоритма Escape Time.

Увеличенный первый квадрант мультиброта, установленного для итерации z ↦ z⁻² + c визуализируется с использованием показателя Ляпунова последовательности в качестве критерия устойчивости, а не с использованием алгоритма Escape Time. Проверка периодичности использовалась для раскраски набора в соответствии с периодом циклов орбит.

Псевдокод

АЛГОРИТМ ВЫХОДА ВРЕМЕНИ =====================для каждого пиксель на экране делать    x = x0 = x координата пикселя y = y0 = y координата итерации пикселя: = 0 max_iteration: = 1000 пока (х * х + у * у ≤ (2 * 2) и итерация делать        / * ВСТАВИТЬ КОД (И) ДЛЯ Z ^ d ИЗ ТАБЛИЦЫ НИЖЕ * / итерация: = итерация + 1 если итерация = max_iteration тогда        цвет: = черный еще        цвет: = итерация графика (x0, y0, цвет)

Комплексное значение z имеет координаты (Икс,у) на комплексной плоскости и возводится в различные степени внутри итерационного цикла кодами, приведенными в этой таблице. Мощности, не указанные в таблице, можно получить путем объединения показанных кодов.

z^−2	z^−1	z^2 (для множества Мандельброта)	z^3	z^5	z^п
d = x ^ 4 + 2 * x ^ 2 * y ^ 2 + y ^ 4, если d = 0, то ESCAPExtmp = (x ^ 2-y ^ 2) / d + ay = -2 * x * y / d + bx = xtmp	d = x ^ 2 + y ^ 2, если d = 0, то ESCAPEx = x / d + ay = -y / d + b	xtmp = x ^ 2-y ^ 2 + ay = 2 * x * y + bx = xtmp	xtmp = x ^ 3-3 * x * y ^ 2 + ay = 3 * x ^ 2 * y-y ^ 3 + bx = xtmp	xtmp = x ^ 5-10 * x ^ 3 * y ^ 2 + 5 * x * y ^ 4 + ay = 5 * x ^ 4 * y-10 * x ^ 2 * y ^ 3 + y ^ 5 + bx = xtmp	xtmp = (x * x + y * y) ^ (n / 2) * cos (n * atan2 (y, x)) + ay = (x * x + y * y) ^ (n / 2) * sin ( п * atan2 (y, x)) + bx = xtmp

Рекомендации

1. «Определение мультибротов». Получено 2008-09-28.
2. «Мультибротс». Получено 2008-09-28.
3. Вольф Юнг. «Гомеоморфизмы на ребрах множества Мандельброта» (PDF). п. 23. Множество Мультиброта Md является местом связности семейства уникритических многочленов z^d + c, d ≥ 2
4. "Система знаний вычислений WolframAlpha".
5. "23 красивых фрактала JavaScript". 23 октября 2008 г. Архивировано с оригинал на 2014-08-11.
6. "Фракталы Javascript". Архивировано из оригинал на 2014-08-19.
7. «Анимированный морф мультибротов d = От −7 до 7 дюймов. Получено 2008-09-28.
8. Генератор фракталов, "Multibrot Slice"
9. Кен Ширрифф (сентябрь 1993 г.). "Исследование фракталов, порожденных z → 1/z^п + c". Компьютеры и графика. 17 (5): 603–607. Дои:10.1016 / 0097-8493 (93) 90012-х. Получено 2008-09-28.