Многомерная система - Multidimensional system

В математике теория систем, а многомерная система или же система m-D это система, в которой не только один независимая переменная существует (как время), но есть несколько независимых переменных.

Важные проблемы, такие как факторизация и стабильность из м-D системы (м > 1) в последнее время вызывают интерес многих исследователей и практиков. Причина в том, что факторизация и стабильность не являются прямым расширением факторизации и устойчивости одномерных систем, потому что, например, основная теорема алгебры не существует в звенеть из м-D (м > 1) многочлены.

Приложения

Многомерные системы или м-D-системы являются необходимой математической базой для современных цифровая обработка изображений со многими приложениями в биомедицина, Рентгеновская техника и спутниковая связь.^[1][2]Также есть исследования, сочетающие м-D системы с уравнения в частных производных (PDE).

Линейная многомерная модель в пространстве состояний

Модель в пространстве состояний - это представление системы, в которой влияние всех «предшествующих» входных значений содержится в векторе состояния. В случае м-d система, каждое измерение имеет вектор состояния, который содержит эффект предыдущих входов относительно этого измерения. Совокупность всех таких размерных векторов состояния в точке составляет полный вектор состояния в точке.

Рассмотрим однородную дискретную пространственную линейную двумерную (2d) систему, которая пространственно инвариантна и причинна. Его можно представить в матрично-векторной форме следующим образом:^[3][4]

Представьте входной вектор в каждой точке ${\displaystyle (i,j)}$ к ${\displaystyle u(i,j)}$, выходной вектор по ${\displaystyle y(i,j)}$ вектор горизонтального состояния ${\displaystyle R(i,j)}$ а вертикальный вектор состояния равен ${\displaystyle S(i,j)}$. Тогда операция в каждой точке определяется следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}R(i+1,j)&=A_{1}R(i,j)+A_{2}S(i,j)+B_{1}u(i,j)\\S(i,j+1)&=A_{3}R(i,j)+A_{4}S(i,j)+B_{2}u(i,j)\\y(i,j)&=C_{1}R(i,j)+C_{2}S(i,j)+Du(i,j)\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},B_{1},B_{2},C_{1},C_{2}}$ и ${\displaystyle D}$ - матрицы соответствующих размеров.

Эти уравнения можно записать более компактно, объединив матрицы:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}R(i+1,j)\\S(i,j+1)\\y(i,j)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A_{1}&A_{2}&B_{1}\\A_{3}&A_{4}&B_{2}\\C_{1}&C_{2}&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}R(i,j)\\S(i,j)\\u(i,j)\end{bmatrix}}}$

Данные входные векторы ${\displaystyle u(i,j)}$ в каждой точке и значениях начального состояния значение каждого выходного вектора может быть вычислено путем рекурсивного выполнения операции, описанной выше.

Многомерная передаточная функция

Дискретная линейная двумерная система часто описывается уравнением в частных разностях в виде:${\displaystyle \sum _{p,q=0,0}^{m,n}a_{p,q}y(i-p,j-q)=\sum _{p,q=0,0}^{m,n}b_{p,q}x(i-p,j-q)}$

куда ${\displaystyle x(i,j)}$ это вход и ${\displaystyle y(i,j)}$ это выход в точке ${\displaystyle (i,j)}$ и ${\displaystyle a_{p,q}}$ и ${\displaystyle b_{p,q}}$ - постоянные коэффициенты.

Чтобы получить передаточную функцию для системы 2d Z-преобразование применяется к обеим сторонам приведенного выше уравнения.

${\displaystyle \sum _{p,q=0,0}^{m,n}a_{p,q}z_{1}^{-p}z_{2}^{-q}Y(z_{1},z_{2})=\sum _{p,q=0,0}^{m,n}b_{p,q}z_{1}^{-p}z_{2}^{-q}X(z_{1},z_{2})}$

Транспонирование дает передаточную функцию ${\displaystyle T(z_{1},z_{2})}$:

${\displaystyle T(z_{1},z_{2})={Y(z_{1},z_{2}) \over X(z_{1},z_{2})}={\sum _{p,q=0,0}^{m,n}b_{p,q}z_{1}^{-p}z_{2}^{-q} \over \sum _{p,q=0,0}^{m,n}a_{p,q}z_{1}^{-p}z_{2}^{-q}}}$

Таким образом, учитывая любой шаблон входных значений, 2d Z-преобразование шаблона вычисляется и затем умножается на передаточную функцию ${\displaystyle T(z_{1},z_{2})}$ производить Z-трансформация системы вывода.

Реализация 2-й передаточной функции

Часто обработка изображений или другая вычислительная задача описывается передаточной функцией, которая имеет определенные свойства фильтрации, но желательно преобразовать ее в форму пространства состояний для более прямых вычислений. Такое преобразование называется реализацией передаточной функции.

Рассмотрим 2-мерную линейную пространственно-инвариантную причинную систему, имеющую отношение ввода-вывода, описываемое следующим образом:

${\displaystyle Y(z_{1},z_{2})={\sum _{p,q=0,0}^{m,n}b_{p,q}z_{1}^{-p}z_{2}^{-q} \over \sum _{p,q=0,0}^{m,n}a_{p,q}z_{1}^{-p}z_{2}^{-q}}X(z_{1},z_{2})}$

По отдельности рассматриваются два случая: 1) нижнее суммирование - это просто константа 1 2) верхнее суммирование - это просто константа ${\displaystyle k}$. Случай 1 часто называют случаем «все нули» или «конечной импульсной характеристикой», тогда как случай 2 называют случаем «всеполюсной» или «бесконечной импульсной характеристикой». Общая ситуация может быть реализована как каскад из двух отдельных случаев. Решение для случая 1 значительно проще, чем для случая 2, и показано ниже.

Пример: все нулевые или конечные импульсные характеристики

${\displaystyle Y(z_{1},z_{2})=\sum _{p,q=0,0}^{m,n}b_{p,q}z_{1}^{-p}z_{2}^{-q}X(z_{1},z_{2})}$

Векторы пространства состояний будут иметь следующие размеры:

${\displaystyle R(1\times m),\quad S(1\times n),\quad x(1\times 1)}$ и ${\displaystyle y(1\times 1)}$

Каждый член в суммировании включает отрицательную (или нулевую) степень ${\displaystyle z_{1}}$ и из ${\displaystyle z_{2}}$ которые соответствуют задержке (или сдвигу) по соответствующему размеру входа ${\displaystyle x(i,j)}$. Эта задержка может быть произведена путем размещения ${\displaystyle 1}$По супердиагонали в ${\displaystyle A_{1}}$. и ${\displaystyle A_{4}}$ матрицы и коэффициенты умножения ${\displaystyle b_{i,j}}$ на соответствующих позициях в ${\displaystyle A_{2}}$. Значение ${\displaystyle b_{0,0}}$ находится в верхнем положении ${\displaystyle B_{1}}$ матрица, которая умножит вход ${\displaystyle x(i,j)}$ и добавьте его к первому компоненту ${\displaystyle R_{i,j}}$ вектор. Кроме того, значение ${\displaystyle b_{0,0}}$ помещается в ${\displaystyle D}$ матрица, которая будет умножать ввод ${\displaystyle x(i,j)}$ и добавьте его к выходу ${\displaystyle y}$Матрицы будут выглядеть следующим образом:

${\displaystyle A_{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&\cdots &0&0\\1&0&0&\cdots &0&0\\0&1&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &0&0\\0&0&0&\cdots &1&0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle A_{2}={\begin{bmatrix}0&0&0&\cdots &0&0\\0&0&0&\cdots &0&0\\0&0&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &0&0\\0&0&0&\cdots &0&0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle A_{3}={\begin{bmatrix}b_{1,n}&b_{2,n}&b_{3,n}&\cdots &b_{m-1,n}&b_{m,n}\\b_{1,n-1}&b_{2,n-1}&b_{3,n-1}&\cdots &b_{m-1,n-1}&b_{m,n-1}\\b_{1,n-2}&b_{2,n-2}&b_{3,n-2}&\cdots &b_{m-1,n-2}&b_{m,n-2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\b_{1,2}&b_{2,2}&b_{3,2}&\cdots &b_{m-1,2}&b_{m,2}\\b_{1,1}&b_{2,1}&b_{3,1}&\cdots &b_{m-1,1}&b_{m,1}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle A_{4}={\begin{bmatrix}0&0&0&\cdots &0&0\\1&0&0&\cdots &0&0\\0&1&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &0&0\\0&0&0&\cdots &1&0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle B_{1}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\\\vdots \\0\\0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle B_{2}={\begin{bmatrix}b_{0,n}\\b_{0,n-1}\\b_{0,n-2}\\\vdots \\b_{0,2}\\b_{0,1}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle C_{1}={\begin{bmatrix}b_{1,0}&b_{2,0}&b_{3,0}&\cdots &b_{m-1,0}&b_{m,0}\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle C_{2}={\begin{bmatrix}0&0&0&\cdots &0&1\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle D={\begin{bmatrix}b_{0,0}\end{bmatrix}}}$

^[3][4]

Рекомендации

1. Бозе, Н.К., изд. (1985). Теория многомерных систем, прогресс, направления и открытые проблемы в многомерных системах. Дордре http, Голландия: издательство D. Reidel Publishing Company.
2. Бозе, Н.К., изд. (1979). Многомерные системы: теория и приложения. IEEE Press.
3. Цафестас, С.Г., изд. (1986). Многомерные системы: методы и приложения. Нью-Йорк: Марсель-Деккер.
4. Качорек, Т. (1985). Двумерные линейные системы. Конспект лекций. и Информ. Наук. 68. Springer-Verlag.