Полиномиальный тест - Multinomial test

В статистика, то полиномиальный тест это испытание нулевая гипотеза что параметры полиномиальное распределение равны указанным значениям. Используется для категориальных данных; см. Рид и Кресси.^[1]

Начиная с образца ${displaystyle N}$ предметы, каждый из которых попадает в одну из ${displaystyle k}$ категории. Можно определить ${displaystyle mathbf {x} =(x_{1},x_{2},dots ,x_{k})}$ как наблюдаемое количество предметов в каждой ячейке. Следовательно ${displaystyle extstyle sum _{i=1}^{k}x_{i}=N}$.

Далее, определение вектора параметров ${displaystyle H_{0}:mathbf {pi } =(pi _{1},pi _{2},dots ,pi _{k})}$, куда :${displaystyle extstyle sum _{i=1}^{k}pi _{i}=1}$. Это значения параметров под нулевая гипотеза.

Точная вероятность наблюдаемой конфигурации ${displaystyle mathbf {x} }$ при нулевой гипотезе дается выражением

${displaystyle Pr(mathbf {x)_{0}} =N!prod _{i=1}^{k}{frac {pi _{i}^{x_{i}}}{x_{i}!}}.}$

Вероятность значимости для теста - это вероятность появления наблюдаемого набора данных или набора данных с меньшей вероятностью, чем наблюдаемый, если нулевая гипотеза верна. Используя точный тест, это рассчитывается как

${displaystyle Pr(mathbf {sig} )=sum _{y:Pr(mathbf {y} )leq Pr(mathbf {x)_{0}} }Pr(mathbf {y} )}$

где сумма колеблется по всем исходам с такой же или меньшей вероятностью, чем наблюдаемые. На практике это становится обременительным с точки зрения вычислений, поскольку ${displaystyle k}$ и ${displaystyle N}$ увеличиваются, поэтому, вероятно, стоит использовать точные тесты только для небольших образцов. Для больших выборок асимптотические приближения достаточно точны и их легче вычислить.

Одним из таких приближений является отношение правдоподобия. An Альтернативная гипотеза можно определить, при котором каждое значение ${displaystyle pi _{i}}$ заменяется его оценкой максимального правдоподобия ${displaystyle p_{i}=x_{i}/N}$. Точная вероятность наблюдаемой конфигурации ${displaystyle mathbf {x} }$ при альтернативной гипотезе дается

${displaystyle Pr(mathbf {x)_{A}} =N!prod _{i=1}^{k}{frac {p_{i}^{x_{i}}}{x_{i}!}}.}$

Натуральный логарифм отношения между этими двумя вероятностями, умноженный на ${displaystyle -2}$ тогда статистика для тест отношения правдоподобия

${displaystyle -2ln(L/R)= extstyle -2sum _{i=1}^{k}x_{i}ln(pi _{i}/p_{i}).}$^{[требуется разъяснение ]}

Если нулевая гипотеза верна, то как ${displaystyle N}$ увеличивается, распределение ${displaystyle -2ln(LR)}$ сходится к хи-квадрат с ${displaystyle k-1}$ степени свободы. Однако давно известно (например, Lawley 1956), что для конечных размеров выборки моменты ${displaystyle -2ln(LR)}$ больше, чем у хи-квадрат, что увеличивает вероятность ошибки типа I (ложные срабатывания). Разница между моментами хи-квадрат и моментами тестовой статистики является функцией ${displaystyle N^{-1}}$. Уильямс (1976) показал, что первый момент может быть сопоставлен, насколько это возможно. ${displaystyle N^{-2}}$ если статистика теста делится на коэффициент, равный

${displaystyle q_{1}=1+{frac {sum _{i=1}^{k}pi _{i}^{-1}-1}{6N(k-1)}}.}$

В частном случае, когда нулевая гипотеза состоит в том, что все значения ${displaystyle pi _{i}}$ равны ${displaystyle 1/k}$ (т.е. он предусматривает равномерное распределение), это упрощает

${displaystyle q_{1}=1+{frac {k+1}{6N}}.}$

Впоследствии Smith et al. (1981) вывели делительный множитель, который соответствует первому моменту, насколько ${displaystyle N^{-3}}$. В случае равных значений ${displaystyle pi _{i}}$, этот коэффициент

${displaystyle q_{2}=1+{frac {k+1}{6N}}+{frac {k^{2}}{6N^{2}}}.}$

Нулевая гипотеза также может быть проверена с помощью Критерий хи-квадрат Пирсона

${displaystyle chi ^{2}=sum _{i=1}^{k}{(x_{i}-E_{i})^{2} over E_{i}}}$

куда ${displaystyle E_{i}=Npi _{i}}$ ожидаемое количество дел в категории ${displaystyle i}$ при нулевой гипотезе. Эта статистика также сходится к распределению хи-квадрат с ${displaystyle k-1}$ степеней свободы, когда нулевая гипотеза верна, но делает это как бы снизу, а не сверху, как ${displaystyle -2ln(LR)}$ делает, поэтому может быть предпочтительнее неисправленной версии ${displaystyle -2ln(LR)}$ для небольших образцов.^{[нужна цитата ]}

Рекомендации

1. Рид Т. Р. и Кресси Н. А. С. (1988). Статистика согласия для дискретных многомерных данных. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-96682-X.

• Лоули, Д. Н. (1956). «Общий метод приближения к распределению критериев отношения правдоподобия». Биометрика. 43: 295–303. Дои:10.1093 / biomet / 43.3-4.295.
• Смит, П. Дж., Рэй, Д. С., Мандершайд, Р. В. и Силбергельд, С. (1981). «Аппроксимация моментов и распределение статистики отношения правдоподобия для полиномиального согласия». Журнал Американской статистической ассоциации. Американская статистическая ассоциация. 76 (375): 737–740. Дои:10.2307/2287541. JSTOR  2287541.
• Уильямс, Д. А. (1976). «Улучшенные тесты отношения правдоподобия для полных таблиц непредвиденных обстоятельств». Биометрика. 63: 33–37. Дои:10.1093 / biomet / 63.1.33.