Около горизонта метрика - Near-horizon metric - Wikipedia

В ближняя метрика (NHM) относится к ближнему пределу глобальной метрики черная дыра. НГМ играют важную роль в изучении геометрии и топология черных дыр, но хорошо определены только для экстремальный черные дыры.^[1][2][3] NHM выражаются в гауссовых нулевых координатах, и одним из важных свойств является то, что зависимость от координаты ${\displaystyle r}$ фиксируется в ближнем пределе.

NHM экстремальных черных дыр Рейсснера – Нордстрема.

Метрика экстремальный Рейсснер – Нордстрём черная дыра

${\displaystyle ds^{2}\,=\,-{\Big (}1-{\frac {M}{r}}{\Big )}^{2}\,dt^{2}+{\Big (}1-{\frac {M}{r}}{\Big )}^{-2}dr^{2}+r^{2}\,{\big (}d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}{\big )}\,.}$

Принятие ближнего предела

${\displaystyle t\mapsto {\frac {\tilde {t}}{\epsilon }}\,,\quad r\mapsto M+\epsilon \,{\tilde {r}}\,,\quad \epsilon \to 0\,,}$

а затем, опуская тильды, получаем ближнюю метрику

${\displaystyle ds^{2}=-{\frac {r^{2}}{M^{2}}}\,dt^{2}+{\frac {M^{2}}{r^{2}}}\,dr^{2}+M^{2}\,{\big (}d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}{\big )}}$

NHM экстремальных черных дыр Керра

Метрика экстремальный Керр черная дыра (${\displaystyle M=a=J/M}$) в Координаты Бойера – Линдквиста можно записать в следующих двух поучительных формах:^[4][5]

${\displaystyle ds^{2}\,=\,-{\frac {\rho _{K}^{2}\Delta _{K}}{\Sigma ^{2}}}\,dt^{2}+{\frac {\rho _{K}^{2}}{\Delta _{K}}}\,dr^{2}+\rho _{K}^{2}d\theta ^{2}+{\frac {\Sigma ^{2}\sin ^{2}\theta }{\rho _{K}^{2}}}{\big (}d\phi -\omega _{K}\,dt{\big )}^{2}\,,}$

${\displaystyle ds^{2}\,=\,-{\frac {\Delta _{K}}{\rho _{K}^{2}}}\,{\big (}dt-M\sin ^{2}\theta d\phi {\big )}^{2}+{\frac {\rho _{K}^{2}}{\Delta _{K}}}\,dr^{2}+\rho _{K}^{2}d\theta ^{2}+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\rho _{K}^{2}}}{\Big (}Mdt-(r^{2}+M^{2})d\phi {\Big )}^{2}\,,}$

куда

${\displaystyle \rho _{K}^{2}:=r^{2}+M^{2}\cos ^{2}\theta \,,\;\;\Delta _{K}:={\big (}r-M{\big )}^{2}\,,\;\;\Sigma ^{2}:={\big (}r^{2}+M^{2}{\big )}^{2}-M^{2}\Delta _{K}\sin ^{2}\theta \,,\;\;\omega _{K}:={\frac {2M^{2}r}{\Sigma ^{2}}}\,.}$

Принятие ближнего предела^[6][7]

${\displaystyle t\mapsto {\frac {\tilde {t}}{\epsilon }}\,,\quad r\mapsto M+\epsilon \,{\tilde {r}}\,,\quad \phi \mapsto {\tilde {\phi }}+{\frac {1}{2M\epsilon }}{\tilde {t}}\,,\quad \epsilon \to 0\,,}$

и опуская тильды, получаем метрику ближнего горизонта (это также называется экстремальное горло Керра^[6] )

${\displaystyle ds^{2}\simeq {\frac {1+\cos ^{2}\theta }{2}}\,{\Big (}-{\frac {r^{2}}{2M^{2}}}\,dt^{2}+{\frac {2M^{2}}{r^{2}}}\,dr^{2}+2M^{2}d\theta ^{2}{\Big )}+{\frac {4M^{2}\sin ^{2}\theta }{1+\cos ^{2}\theta }}\,{\Big (}d\phi +{\frac {rdt}{2M^{2}}}{\Big )}^{2}\,.}$

NHM экстремальных черных дыр Керра – Ньюмана.

Экстремальный Керр – Ньюман черные дыры (${\displaystyle r_{+}^{2}=M^{2}+Q^{2}}$) описываются метрикой^[4][5]

${\displaystyle ds^{2}=-{\Big (}1-{\frac {2Mr-Q^{2}}{\rho _{KN}}}\!{\Big )}dt^{2}-{\frac {2a\sin ^{2}\!\theta \,(2Mr-Q^{2})}{\rho _{KN}}}dtd\phi +\rho _{KN}{\Big (}{\frac {dr^{2}}{\Delta _{KN}}}+d\theta ^{2}{\Big )}+{\frac {\Sigma ^{2}}{\rho _{KN}}}d\phi ^{2},}$

куда

${\displaystyle \Delta _{KN}\,:=\,r^{2}-2Mr+a^{2}+Q^{2}\,,\;\;\rho _{KN}\,:=\,r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\!\theta \,,\;\;\Sigma ^{2}\,:=\,(r^{2}+a^{2})^{2}-\Delta _{KN}a^{2}\sin ^{2}\theta \,.}$

Преобразование ближнего горизонта

${\displaystyle t\mapsto {\frac {\tilde {t}}{\epsilon }}\,,\quad r\mapsto M+\epsilon \,{\tilde {r}}\,,\quad \phi \mapsto {\tilde {\phi }}+{\frac {a}{r_{0}^{2}\epsilon }}{\tilde {t}}\,,\quad \epsilon \to 0\,,\quad {\Big (}r_{0}^{2}\,:=\,M^{2}+a^{2}{\Big )}}$

и опуская тильды, получаем NHM^[7]

${\displaystyle ds^{2}\simeq {\Big (}1-{\frac {a^{2}}{r_{0}^{2}}}\sin ^{2}\!\theta {\Big )}\left(-{\frac {r^{2}}{r_{0}^{2}}}dt^{2}+{\frac {r_{0}^{2}}{r^{2}}}dr^{2}+r_{0}^{2}d\theta ^{2}\right)+r_{0}^{2}\sin ^{2}\!\theta \,{\Big (}1-{\frac {a^{2}}{r_{0}^{2}}}\sin ^{2}\!\theta {\Big )}^{-1}\left(d\phi +{\frac {2arM}{r_{0}^{4}}}dt\right)^{2}\,.}$

NHM общих черных дыр

Помимо рассмотренных выше NHM экстремальных метрик семейства Керра – Ньюмана, все стационарный NHMs можно было бы записать в форме^[1][2][3][8]

${\displaystyle ds^{2}=({\hat {h}}_{AB}G^{A}G^{B}-F)r^{2}dv^{2}+2dvdr-{\hat {h}}_{AB}G^{B}rdvdy^{A}-{\hat {h}}_{AB}G^{A}rdvdy^{B}+{\hat {h}}_{AB}dy^{A}dy^{B}}$
${\displaystyle =-F\,r^{2}dv^{2}+2dvdr+{\hat {h}}_{AB}{\big (}dy^{A}-G^{A}\,rdv{\big )}{\big (}dy^{B}-G^{B}\,rdv{\big )}\,,}$

где метрические функции ${\displaystyle \{F,G^{A}\}}$ не зависят от координаты r, ${\displaystyle {\hat {h}}_{AB}}$ обозначает внутренняя метрика горизонта, и ${\displaystyle y^{A}}$ находятся изотермические координаты на горизонте.

Примечание. В нулевых гауссовых координатах горизонт черной дыры соответствует ${\displaystyle r=0}$.

Смотрите также

• Экстремальная черная дыра
• Метрика Рейсснера – Нордстрема
• Метрика Керра
• Метрика Керра – Ньюмана

Рекомендации

1. Кундури, Хари К .; Лучетти, Джеймс (2009). «Классификация околозоризонтных геометрий экстремальных вакуумных черных дыр». Журнал математической физики. 50 (8): 082502. arXiv:0806.2051. Bibcode:2009JMP .... 50х2502К. Дои:10.1063/1.3190480. ISSN  0022-2488. S2CID  15173886.
2. Кундури, Хари К.; Люсиетти, Джеймс (25 ноября 2009 г.). «Статическая ближняя горизонтальная геометрия в пяти измерениях». Классическая и квантовая гравитация. IOP Publishing. 26 (24): 245010. arXiv:0907.0410. Bibcode:2009CQGra..26x5010K. Дои:10.1088/0264-9381/26/24/245010. ISSN  0264-9381. S2CID  55272059.
3. Кундури, Хари К. (2011-05-20). «Электровакуумные ближние горизонты геометрии в четырех и пяти измерениях». Классическая и квантовая гравитация. 28 (11): 114010. arXiv:1104.5072. Bibcode:2011CQGra..28k4010K. Дои:10.1088/0264-9381/28/11/114010. ISSN  0264-9381. S2CID  118609264.
4. Хобсон, Майкл Пол; Efstathiou, Джордж; Ласенби., Энтони Н. (2006). Общая теория относительности: введение для физиков. Кембридж, Великобритания Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-82951-9. OCLC  61757089.
5. Фролов Валерий П; Новиков, Игорь Д (1998). Физика черной дыры: основные понятия и новые разработки. Дордрехт Бостон: Клувер. ISBN  978-0-7923-5145-0. OCLC  39189783.
6. Бардин, Джеймс; Горовиц, Гэри Т. (1999-10-26). "Экстремальная керровская геометрия горловины: вакуумный аналог AdS".₂× S²". Физический обзор D. 60 (10): 104030. arXiv:hep-th / 9905099. Bibcode:1999ПхРвД..60дж4030Б. Дои:10.1103 / Physrevd.60.104030. ISSN  0556-2821. S2CID  17389870.
7. Амзель, Аарон Дж .; Горовиц, Гэри Т .; Марольф, Дональд; Робертс, Мэтью М. (22 января 2010 г.). «Уникальность экстремальных черных дыр Керра и Керра-Ньюмана». Физический обзор D. 81 (2): 024033. arXiv:0906.2367. Bibcode:2010ПхРвД..81б4033А. Дои:10.1103 / Physrevd.81.024033. ISSN  1550-7998. S2CID  15540019.
8. Компер, Джеффри (2012-10-22). "Переписка Керра / CFT и ее расширения". Живые обзоры в теории относительности. ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 15 (1): 11. arXiv:1203.3561. Bibcode:2012LRR .... 15 ... 11C. Дои:10.12942 / lrr-2012-11. ISSN  2367-3613. ЧВК  5255558. PMID  28179839.