Тета-функции Невилля - Neville theta functions

Относительно других θ-функций см. Тета-функция (значения).

В математике Тета-функции Невилля, названный в честь Эрик Гарольд Невилл,^[1] определяются следующим образом:^[2][3][4]

${\displaystyle \theta _{c}(z,m)={\frac {{\sqrt {2\pi }}\,q(m)^{1/4}}{m^{1/4}{\sqrt {K(m)}}}}\,\,\sum _{k=0}^{\infty }(q(m))^{k(k+1)}\cos \left({\frac {(2k+1)\pi z}{2K(m)}}\right)}$

${\displaystyle \theta _{d}(z,m)={\frac {\sqrt {2\pi }}{2{\sqrt {K(m)}}}}\,\,\left(1+2\,\sum _{k=1}^{\infty }(q(m))^{k^{2}}\cos \left({\frac {\pi zk}{K(m)}}\right)\right)}$

${\displaystyle \theta _{n}(z,m)={\frac {\sqrt {2\pi }}{2(1-m)^{1/4}{\sqrt {K(m)}}}}\,\,\left(1+2\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}(q(m))^{k^{2}}\cos \left({\frac {\pi zk}{K(m)}}\right)\right)}$

${\displaystyle \theta _{s}(z,m)={\frac {{\sqrt {2\pi }}\,q(m)^{1/4}}{m^{1/4}(1-m)^{1/4}{\sqrt {K(m)}}}}\,\,\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(q(m))^{k(k+1)}\sin \left({\frac {(2k+1)\pi z}{2K(m)}}\right)}$

где: K (m) - полная эллиптический интеграл первого рода, K '(m) = K (1-m) и ${\displaystyle q(m)=e^{-\pi K'(m)/K(m)}}$ - эллиптический ном.

Отметим, что функции θ_п(z, m) иногда определяются в терминах нома q (м) и написано θ_п(z, q) (например, NIST^[5]). Функции также можно записать через параметр τ θ_п(z | τ) где ${\displaystyle q=e^{i\pi \tau }}$.

Связь с другими функциями

Тэта-функции Невилля могут быть выражены через тэта-функции Якоби^[5]

${\displaystyle \theta _{s}(z|\tau )=\theta _{23}(0|\tau )\theta _{1}(z'|\tau )/\theta '_{1}(0|\tau )}$

${\displaystyle \theta _{c}(z|\tau )=\theta _{2}(z'|\tau )/\theta _{2}(0|\tau )}$

${\displaystyle \theta _{n}(z|\tau )=\theta _{4}(z'|\tau )/\theta _{4}(0|\tau )}$

${\displaystyle \theta _{d}(z|\tau )=\theta _{3}(z'|\tau )/\theta _{3}(0|\tau )}$

где ${\displaystyle z'=z/\theta _{3}(0|\tau )^{2}}$.

Тета-функции Невилля связаны с Эллиптические функции Якоби. Если pq (u, m) - эллиптическая функция Якоби (p и q - одно из s, c, n, d), то

${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)={\frac {\theta _{p}(u,m)}{\theta _{q}(u,m)}}}$

Примеры

Замена z = 2.5, м = 0,3 в приведенные выше определения тета-функций Невилля (используя Клен ) после получения следующего (в соответствии с результатами вольфрам математика).

• ${\displaystyle \theta _{c}(2.5,0.3)=-0.65900466676738154967}$^[6]
• ${\displaystyle \theta _{d}(2.5,0.3)=0.95182196661267561994}$
• ${\displaystyle \theta _{n}(2.5,0.3)=1.0526693354651613637}$
• ${\displaystyle \theta _{s}(2.5,0.3)=0.82086879524530400536}$

Симметрия

• ${\displaystyle \theta _{c}(z,m)=\theta _{c}(-z,m)}$
• ${\displaystyle \theta _{d}(z,m)=\theta _{d}(-z,m)}$
• ${\displaystyle \theta _{n}(z,m)=\theta _{n}(-z,m)}$
• ${\displaystyle \theta _{s}(z,m)=-\theta _{s}(-z,m)}$

Сложные 3D-графики

Реализация

NetvilleThetaC [z, m], NevilleThetaD [z, m], NevilleThetaN [z, m] и NevilleThetaS [z, m] являются встроенными функциями системы Mathematica.^[7]В Maple таких функций нет.

Заметки

1. Абрамовиц и Стегун, стр. 578-579.
2. Невилл (1944)
3. вольфрам Математический
4. вольфрам математика
5. Olver, F. W. J .; и др., ред. (2017-12-22). «Цифровая библиотека математических функций NIST (версия 1.0.17)». Национальный институт стандартов и технологий. Получено 2018-02-26.
6. [1]
7. [2]

использованная литература

• Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. ISBN  978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. Г-Н  0167642. LCCN  65-12253.
• Невилл, Э. Х. (Эрик Гарольд) (1944). Эллиптические функции Якоби. Oxford Clarendon Press.
• Вайсштейн, Эрик В. "Функции Невилла Тета". MathWorld.