Строительство Неймана - Neyman construction

Строительство Неймана это частотник метод построения интервала на уровень уверенности ${displaystyle C,,}$ такой, что если мы повторим эксперимент много раз, интервал будет содержать истинное значение некоторого параметра дробной части ${displaystyle C,}$ времени. Он назван в честь Ежи Нейман.

Теория

Предполагать ${displaystyle X_{1},X_{2},...X_{n}}$ случайные величины с совместным pdf ${displaystyle f(x_{1},x_{2},...x_{n}| heta _{1}, heta _{2},..., heta _{k})}$, который зависит от k неизвестных параметров. Для удобства пусть ${displaystyle Theta }$ быть пространством выборки, определяемым n случайными величинами, и последовательно определять точку выборки в пространстве выборки как ${displaystyle X=(X_{1},X_{2},...X_{n})}$
Первоначально Нейман предлагал определить две функции ${displaystyle L(x)}$ и ${displaystyle U(x)}$ так что для любой точки выборки${displaystyle X}$,

• ${displaystyle L(X)leq U(X)}$ ${displaystyle forall Xin Theta }$
• L и U однозначны и определены.

Учитывая наблюдение, ${displaystyle X^{'}}$, вероятность того, что ${displaystyle heta _{1}}$ лежит между ${displaystyle L(X^{'})}$ и ${displaystyle U(X^{'})}$ определяется как ${displaystyle P(L(X^{'})leq heta _{1}leq U(X^{'})|X^{'})}$ с вероятностью ${displaystyle 0}$ или же ${displaystyle 1}$. Эти рассчитанные вероятности не позволяют сделать значимый вывод о ${displaystyle heta _{1}}$ поскольку вероятность равна нулю или единице. Кроме того, в рамках частотной конструкции параметры модели являются неизвестными константами и не могут быть случайными величинами.^[1] Например, если ${displaystyle heta _{1}=5}$, тогда ${displaystyle P(2leq 5leq 10)=1}$. Аналогично, если ${displaystyle heta _{1}=11}$, тогда ${displaystyle P(2leq 11leq 10)=0}$

Как описывает Нейман в своей статье 1937 года, предположим, что мы рассматриваем все точки в пространстве выборки, то есть ${displaystyle forall Xin Theta }$, которые представляют собой систему случайных величин, определенных описанным выше объединенным pdf. С ${displaystyle L}$ и ${displaystyle U}$ являются функциями ${displaystyle X}$ они тоже являются случайными величинами, и можно проверить значение следующего утверждения вероятности:

Согласно частотной конструкции параметры модели являются неизвестными константами и не могут быть случайными величинами. Рассмотрение всех точек выборки в пространстве выборки как случайных величин определило объединенный PDF-файл выше, то есть все ${displaystyle Xin Theta }$ можно показать, что ${displaystyle L}$ и ${displaystyle U}$ являются функциями случайных величин и, следовательно, случайных величин. Поэтому можно посмотреть на вероятность ${displaystyle L(X)}$ и ${displaystyle U(X)}$ для некоторых ${displaystyle Xin Theta }$. Если ${displaystyle heta _{1}^{'}}$ истинная ценность ${displaystyle heta _{1}}$, мы можем определить ${displaystyle L}$ и ${displaystyle U}$ такая, что вероятность ${displaystyle L(X)leq heta _{1}^{'}}$ и ${displaystyle heta _{1}^{'}leq U(X)}$ равно заранее указанному уровень уверенности${displaystyle ,C}$.

То есть,${displaystyle P(L(X)leq heta _{1}^{'}leq U(X)| heta _{1}^{'})=C}$ куда ${displaystyle 0leq Cleq 1}$ куда ${displaystyle L(X)}$ и ${displaystyle U(X)}$ верхний и нижний доверительные границы для ${displaystyle heta _{1}}$^[1]

Вероятность покрытия

В вероятность покрытия, ${displaystyle C}$, для построения Неймана - это частота экспериментов, при которой доверительный интервал содержит актуальное интересующее значение. Обычно вероятность охвата устанавливается равной ${displaystyle 95\%}$ уверенность. Для конструкции Неймана вероятность покрытия устанавливается равной некоторому значению ${displaystyle C}$ куда ${displaystyle 0<C<1}$. Это значение ${displaystyle C}$ сообщает, насколько уверенно истинное значение содержится в интервале.

Выполнение

Построение Неймана может быть выполнено путем выполнения нескольких экспериментов, которые создают наборы данных, соответствующие заданному значению параметра. Эксперименты проводятся с использованием традиционных методов, а пространство подобранных значений параметров составляет полосу, из которой может быть выбран доверительный интервал.

Классический пример

График 50 доверительных интервалов из 50 выборок, созданных на основе нормального распределения.

Предполагать ${displaystyle X}$~${displaystyle N( heta ,sigma ^{2})}$, куда ${displaystyle heta }$ и ${displaystyle sigma ^{2}}$ неизвестные константы, где мы хотим оценить ${displaystyle heta }$. Мы можем определить (2) однозначные функции, ${displaystyle L}$ и ${displaystyle U}$, определенный описанным выше процессом, при котором заданный заранее уровень достоверности${displaystyle C}$, и случайная выборка ${displaystyle X^{*}}$=(${displaystyle x_{1},x_{2},...x_{n}}$)

${displaystyle L(X^{*})={ar {x}}-{frac {ts}{sqrt {n}}}}$

${displaystyle U(X^{*})={ar {x}}+{frac {ts}{sqrt {n}}}}$

куда ${displaystyle {ar {x}}={frac {1}{n}}sum _{i=1}^{n}x_{i}={frac {1}{n}}(x_{1},x_{2},...x_{n})}$ , ${displaystyle s={sqrt {{frac {1}{n-1}}sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{ar {x}})^{2}}}}$

и ${displaystyle t}$ следует t-распределению с (n-1) степенями свободы. ${displaystyle t}$~ т_{${displaystyle ({1-C}/2,n-1)}$}

^[2]

Другой пример

${displaystyle X_{1},X_{2},...,X_{n}}$ iid случайные величины, и пусть ${displaystyle T=(X_{1},X_{2},...,XZ_{n})}$. Предполагать ${displaystyle Tsim N(mu ,sigma ^{2})}$. Теперь для построения доверительного интервала с ${displaystyle C}$ уровень уверенности. Мы знаем ${displaystyle {ar {x}}}$ достаточно для ${displaystyle mu }$. Так,

${displaystyle p(-Z_{frac {alpha }{2}}leq {frac {{ar {x}}-mu }{sigma ^{2}}}leq Z_{frac {alpha }{2}})=C}$

${displaystyle p(-Z_{frac {alpha }{2}}sigma ^{2}leq {ar {x}}-mu leq Z_{frac {alpha }{2}}sigma ^{2})=C}$

${displaystyle p({ar {x}}-Z_{frac {alpha }{2}}sigma ^{2}leq mu leq {ar {x}}+Z_{frac {alpha }{2}}sigma ^{2})=C}$

Это дает ${displaystyle 100(C)\%}$ доверительный интервал для ${displaystyle mu }$ куда,

${displaystyle L(T)={ar {x}}-Z_{frac {alpha }{2}}sigma ^{2}}$

${displaystyle U(T)={ar {x}}+Z_{frac {alpha }{2}}sigma ^{2}}$.

^[3]

Смотрите также

• Вероятностные интерпретации

Рекомендации

1. Нейман, Дж. (1937). «Очерк теории статистического оценивания на основе классической теории вероятностей». Философские труды Лондонского королевского общества. Серия A, Математические и физические науки. 236 (767): 333–380. Дои:10.1098 / рста.1937.0005. JSTOR  91337.
2. Рао, К. Радхакришна (13 апреля 1973 г.). Линейный статистический вывод и его приложения: вторая редакция. Джон Вили и сыновья. С. 470–472. ISBN  9780471708230.
3. Саманьего, Франсиско Дж. (14 января 2014 г.). Стохастическое моделирование и математическая статистика. Чепмен и Холл / CRC. п. 347. ISBN  9781466560468.