Нильпотентный оператор - Nilpotent operator

В теория операторов, ограниченный оператор Т на Гильбертово пространство как говорят нильпотентный если Т^п = 0 для некоторых п. Говорят, что это квазинильпотентный или топологический нильпотентный если это спектр σ(Т) = {0}.

Примеры

В конечномерном случае, т.е. когда Т квадратная матрица с комплексными элементами, σ(Т) = {0} тогда и только тогда, когдаТ похожа на матрицу, единственные ненулевые элементы которой находятся на наддиагонали, Иорданская каноническая форма. В свою очередь, это эквивалентно Т^п = 0 для некоторых п. Следовательно, для матриц квазинильпотентность совпадает с нильпотентностью.

Это неправда, когда ЧАС бесконечномерно. Рассмотрим Оператор Вольтерра, определяемый следующим образом: рассмотрим единичный квадрат Икс = [0,1] × [0,1] ⊂ р², с мерой Лебега м. На Икс, определим функцию (ядра) K от

${\displaystyle K(x,y)=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{if}}\;x\geq y\\0,&{\mbox{otherwise}}.\end{matrix}}\right.}$

Оператор Вольтерра - это соответствующий интегральный оператор Т на гильбертовом пространстве L²(Икс, м) предоставлено

${\displaystyle Tf(x)=\int _{0}^{1}K(x,y)f(y)dy.}$

Оператор Т не является нильпотентным: возьми ж быть функцией, которая всюду равна 1, и прямой расчет показывает, что Т^п ж ≠ 0 (в смысле L²) для всех п. Однако, Т квазинильпотентен. Сначала обратите внимание, что K в L²(Икс, м), следовательно Т является компактный. По спектральным свойствам компактных операторов любые ненулевые λ в σ(Т) - собственное значение. Но можно показать, что Т не имеет ненулевых собственных значений, поэтому Т квазинильпотентен.