Метод Нумерова - Numerovs method - Wikipedia

Метод Нумерова (также называемый методом Коуэлла) - это численный метод решения обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка, в котором член первого порядка не появляется. Это четвертого порядка линейный многоступенчатый метод. Этот метод является неявным, но его можно сделать явным, если дифференциальное уравнение является линейным.

Метод Нумерова разработан российским астрономом. Борис Васильевич Нумеров.

Метод

Метод Нумерова можно использовать для решения дифференциальных уравнений вида

В нем три значения взято в трех равноудаленных точках связаны следующим образом:

куда , , , и .

Нелинейные уравнения

Для нелинейных уравнений вида

метод дает

Это неявный линейный многоступенчатый метод, который сводится к явному методу, данному выше, если линейно по установив . Достигает точности порядка 4 (Хайрер, Норсетт и Ваннер, 1993 г., §III.10).

Заявление

В численной физике метод используется для нахождения решений одномерных Уравнение Шредингера для произвольных потенциалов. Примером может служить решение радиального уравнения для сферически-симметричного потенциала. В этом примере после разделения переменных и аналитического решения углового уравнения остается следующее уравнение радиальной функции :

Это уравнение можно привести к виду, необходимому для применения метода Нумерова, с помощью следующей замены:

И когда мы делаем замену, радиальное уравнение принимает вид

или же

что эквивалентно одномерному уравнению Шредингера, но с модифицированным эффективным потенциалом

Это уравнение мы можем решить так же, как если бы мы решили одномерное уравнение Шредингера. Мы можем переписать уравнение немного иначе и, таким образом, более ясно увидеть возможное применение метода Нумерова:

Вывод

Дано дифференциальное уравнение

Чтобы вывести метод Нумерова для решения этого уравнения, начнем с Расширение Тейлора функции, которую мы хотим решить, , вокруг точки :

Обозначая расстояние от к к , мы можем записать это уравнение в виде

Если мы равномерно дискретизируем пространство, мы получим сетку точки, где . Применяя приведенные выше уравнения к этому дискретному пространству, мы получаем связь между и :

В вычислительном отношении это равносильно шагу вперед на сумму . Если мы хотим сделать шаг назад, мы заменяем каждый с и получить выражение для :

Обратите внимание, что только нечетные степени произошла смена знака. Суммируя два уравнения, получаем, что

Мы можем решить это уравнение для подставив выражение, данное в начале, то есть . Чтобы получить выражение для фактор, мы просто должны различать дважды и снова аппроксимируйте его так же, как мы сделали это выше:

Если мы теперь подставим это в предыдущее уравнение, мы получим

или же

Это дает метод Нумерова, если мы проигнорируем член порядка . Отсюда следует, что порядок сходимости (в предположении устойчивости) равен 4.

Рекомендации

  • Хайрер, Эрнст; Норсетт, Сиверт Пол; Ваннер, Герхард (1993), Решение обыкновенных дифференциальных уравнений I: нежесткие задачи, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-56670-0.
    В эту книгу включены следующие ссылки:
  • Нумеров Борис Васильевич (1924 г.), «Метод экстраполяции возмущений», Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества, 84: 592–601, Bibcode:1924МНРАС..84..592Н, Дои:10.1093 / минрас / 84.8.592.
  • Нумеров Борис Васильевич (1927), "Замечание о численном интегрировании d2Икс/ дт2 = ж(Икс,т)", Astronomische Nachrichten, 230: 359–364, Bibcode:1927АН .... 230..359Н, Дои:10.1002 / asna.19272301903.

внешняя ссылка