Сплюснутая сфероидальная волновая функция - Oblate spheroidal wave function

В прикладной математике сплюснутые сфероидальные волновые функции (например, вытянутые сфероидальные волновые функции и другие связанные функции^[1]) участвуют в решении Уравнение Гельмгольца в сжатые сфероидальные координаты. Решая это уравнение,${\displaystyle \Delta \Phi +k^{2}\Phi =0}$, методом разделения переменных, ${\displaystyle (\xi ,\eta ,\phi )}$, с:

${\displaystyle \ x=(d/2)\xi \eta ,}$

${\displaystyle \ y=(d/2){\sqrt {(\xi ^{2}+1)(1-\eta ^{2})}}\cos \phi ,}$

${\displaystyle \ z=(d/2){\sqrt {(\xi ^{2}+1)(1-\eta ^{2})}}\sin \phi ,}$

${\displaystyle \ \xi \geq 0{\text{ and }}|\eta |\leq 1.}$

решение ${\displaystyle \Phi (\xi ,\eta ,\phi )}$ можно записать как произведение радиальной сфероидальной волновой функции ${\displaystyle R_{mn}(-ic,i\xi )}$ и угловая сфероидальная волновая функция ${\displaystyle S_{mn}(-ic,\eta )}$ к ${\displaystyle e^{im\phi }}$. Здесь ${\displaystyle c=kd/2}$, с ${\displaystyle d}$ являющееся межфокусным расстоянием эллиптического поперечного сечения сплюснутый сфероид.

Радиальная волновая функция ${\displaystyle R_{mn}(-ic,i\xi )}$ удовлетворяет линейному обыкновенное дифференциальное уравнение:

${\displaystyle \ (\xi ^{2}+1){\frac {d^{2}R_{mn}(-ic,i\xi )}{d\xi ^{2}}}+2\xi {\frac {dR_{mn}(-ic,i\xi )}{d\xi }}-\left(\lambda _{mn}(c)-c^{2}\xi ^{2}-{\frac {m^{2}}{\xi ^{2}+1}}\right){R_{mn}(-ic,i\xi )}=0}$.

Угловая волновая функция удовлетворяет дифференциальному уравнению:

${\displaystyle \ (1-\eta ^{2}){\frac {d^{2}S_{mn}(-ic,\eta )}{d\eta ^{2}}}-2\eta {\frac {dS_{mn}(-ic,\eta )}{d\eta }}+\left(\lambda _{mn}(c)+c^{2}\eta ^{2}-{\frac {m^{2}}{1-\eta ^{2}}}\right){S_{mn}(-ic,\eta )}=0}$.

Это то же дифференциальное уравнение, что и в случае радиальной волновой функции. Однако диапазон радиальной координаты ${\displaystyle \xi }$ отличается от угловой координаты ${\displaystyle \eta }$.

Собственное значение ${\displaystyle \lambda _{mn}(-ic)}$ этого дифференциального уравнения Штурма-Лиувилля фиксируется требованием, чтобы ${\displaystyle {S_{mn}(-ic,\eta )}}$ должен быть конечным для ${\displaystyle |\eta |=1}$.

За ${\displaystyle c=0}$ эти два дифференциальных уравнения сводятся к уравнениям, которым удовлетворяет ассоциированные полиномы Лежандра. За ${\displaystyle c\neq 0}$, угловые сфероидальные волновые функции могут быть разложены в ряд функций Лежандра. Мюллер рассмотрел разложения сфероидальных волновых функций по функциям Лежандра.^[2].

Приведенные выше дифференциальные уравнения для сжатых радиальных и угловых волновых функций могут быть получены из соответствующих уравнений для вытянутые сфероидальные волновые функции путем замены ${\displaystyle -ic}$ за ${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle i\xi }$ за ${\displaystyle \xi }$. Обозначение для сжатых сфероидальных функций отражает эту взаимосвязь.

Существуют разные схемы нормализации сфероидальных функций. Таблицу различных схем можно найти у Абрамовица и Стегуна.^[3] Абрамовиц и Стегун (и настоящая статья) следуют обозначениям Фламмера.^[4]

Первоначально сфероидальные волновые функции были введены К. Нивеном,^[5] которые приводят к уравнению Гельмгольца в сфероидальных координатах. Монографии, связывающие воедино многие аспекты теории сфероидальных волновых функций, были написаны Струттом,^[6] Страттон и др.,^[7] Мейкснер и Шафке,^[8] и Фламмер.^[4]

Фламмер^[4] предоставил подробное обсуждение расчета собственных значений, угловых волновых функций и радиальных волновых функций как для сжатого, так и для вытянутого случая. Компьютерные программы для этой цели были разработаны многими, в том числе Van Buren et al.,^[9] Кинг и Ван Бюрен,^[10] Baier et al.,^[11] Чжан и Цзинь,^[12] и Томпсон.^[13] Ван Бюрен недавно разработал новые методы расчета сфероидальных волновых функций, которые расширяют возможности получения числовых значений до чрезвычайно широкого диапазона параметров. Эти результаты основаны на более ранней работе над вытянутыми сфероидальными волновыми функциями.^[14][15] Исходный код Fortran, сочетающий новые результаты с традиционными методами, доступен по адресу http://www.mathieuandspheroidalwavefunctions.com.

Таблицы численных значений сплюснутых сфероидальных волновых функций приведены в Flammer,^[4] Ханиш и др.,^[16][17][18] и Van Buren et al.^[19]

Асимптотические разложения угловых сжатых сфероидальных волновых функций для больших значений ${\displaystyle c}$ были выведены Мюллером.^[20], также аналогично для вытянутых сфероидальных волновых функций.^[21].

Электронная библиотека математических функций http://dlmf.nist.gov предоставленный NIST, является отличным ресурсом для сфероидальных волновых функций.

Рекомендации

1. F.M. Арскотт, Периодические дифференциальные уравнения, Pergamon Press (1964).
2. H.J.W. Мюллер, Asymptotische Entwicklungen von Sphäroidfunktionen und ihre Verwandtschaft mit Kugelfunktionen, Z. angew. Математика. Мех. 44 (1964) 371 - 374, Über asymptotische Entwicklungen von Sphäroidfunktionen, Z. angew. Математика. Мех. 45 (1965) 29 - 36.
3. . М. Абрамовиц и И. Стегун. Справочник по математическим функциям стр. 751-759 (Довер, Нью-Йорк, 1972 г.)
4. К. Фламмер. Сфероидальные волновые функции Stanford University Press, Стэнфорд, Калифорния, 1957 г.
5. К. Нивен о проводимости тепла в эллипсоидах вращения. Философские труды Лондонского королевского общества, 171 п. 117 (1880)
6. M. J. O. Strutt. Ламеш, Матье и Вердандт Функционен в области физики и техники Эргебн. Математика. ты Гренцеб, 1, стр. 199-323, 1932
7. Дж. А. Страттон, П. М. Морс, Дж. Л. Чу и Ф. Дж. Корбато. Сфероидальные волновые функции Уайли, Нью-Йорк, 1956 год.
8. Дж. Мейкснер и Ф. В. Шафке. Mathieusche Funktionen und Sphäroidfunktionen Springer-Verlag, Берлин, 1954 г.
9. А. Л. Ван Бюрен, Р. В. Байер, С. Ханиш Компьютерная программа на языке Fortran для вычисления сфероидальных радиальных функций первого и второго рода и их первых производных. (1970)
10. Б. Дж. Кинг, А. Л. Ван Бюрен Компьютерная программа на языке Fortran для вычисления сфероидальных угловых функций первого рода и их первой и второй производных. (1970)
11. Р. В. Байер, А. Л. Ван Бюрен, С. Ханиш, Б. Дж. Кинг - Сфероидальные волновые функции: их использование и оценка Журнал Акустического общества Америки, 481970. С. 102–102.
12. С. Чжан и Дж. Цзинь. Вычисление специальных функций, Уайли, Нью-Йорк, 1996 г.
13. У. Дж. Томсон Сфероидальные волновые функции В архиве 2010-02-16 в Wayback Machine Вычислительная техника в науке и технике с. 84, май – июнь 1999 г.
14. А. Л. Ван Бюрен и Дж. Э. Бойсверт. Точный расчет вытянутых сфероидальных радиальных функций первого рода и их первых производных, Ежеквартальный вестник прикладной математики 60, стр. 589-599, 2002
15. А. Л. Ван Бюрен и Дж. Э. Бойсверт. Улучшен расчет вытянутых сфероидальных радиальных функций второго рода и их первых производных, Ежеквартальный вестник прикладной математики 62, стр. 493-507, 2004
16. С. Ханиш, Р. В. Байер, А. Л. Ван Бюрен, Б. Дж. Кинг Таблицы радиальных сфероидальных волновых функций, объем 4, сжатый, m = 0 (1970)
17. С. Ханиш, Р. В. Байер, А. Л. Ван Бюрен, Б. Дж. Кинг Таблицы радиальных сфероидальных волновых функций, объем 5, сжатый, m = 1 (1970)
18. С. Ханиш, Р. В. Байер, А. Л. Ван Бюрен, Б. Дж. Кинг Таблицы радиальных сфероидальных волновых функций, объем 6, сжатый, m = 2 (1970)
19. А. Л. Ван Бурен, Б. Дж. Кинг, Р. В. Байер и С. Ханиш. Таблицы угловых сфероидальных волновых функций, т. 2, сжатый, m = 0, Военно-морская исследовательская лаборатория. Публикация, U. S. Govt. Типография, 1975 г.
20. H.J.W. Мюллер, Асимптотические разложения сжатых сфероидальных волновых функций и их характеристические числа, J. Reine Angew. Математика. 211 (1962) 33 - 47
21. H.J.W. Мюллер, Асимптотические разложения удлиненных волновых функций спероидального типа и их характеристические числа, J. Reine angw. Математика. 212 (1963) 26 - 48

внешняя ссылка

• MathWorld Сфероидальные волновые функции
• MathWorld Вытянутая сфероидальная волновая функция
• MathWorld Сплюснутая сфероидальная волновая функция