Грамиан наблюдаемости - Observability Gramian - Wikipedia

В теория управления, нам может потребоваться выяснить, действительно ли такая система, как

${\displaystyle {\begin{array}{c}{\dot {\boldsymbol {x}}}(t){\boldsymbol {=Ax}}(t)+{\boldsymbol {Bu}}(t)\\{\boldsymbol {y}}(t)={\boldsymbol {Cx}}(t)+{\boldsymbol {Du}}(t)\end{array}}}$

наблюдается, где ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$, ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$, ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$ и ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}}$ являются, соответственно, ${\displaystyle n\times n}$, ${\displaystyle n\times p}$,${\displaystyle q\times n}$ и ${\displaystyle q\times p}$ матрицы.

Один из многих способов достижения этой цели - использование грамиана наблюдаемости.

Наблюдаемость в системах LTI

Системы с линейным инвариантом во времени (LTI) - это такие системы, в которых параметры ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$, ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$, ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$ и ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}}$ инвариантны относительно времени.

Можно определить, является ли система LTI наблюдаемой или нет, просто взглянув на пару ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {C}})}$. Тогда мы можем сказать, что следующие утверждения эквивалентны:

1. Пара ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {C}})}$ наблюдается.

2. Программа ${\displaystyle n\times n}$ матрица

${\displaystyle {\boldsymbol {W_{o}}}(t)=\int _{0}^{t}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau }{\boldsymbol {C}}^{T}{\boldsymbol {C}}e^{{\boldsymbol {A}}\tau }d\tau }$

неособен для любого ${\displaystyle t>0}$.

3. В ${\displaystyle nq\times n}$ матрица наблюдаемости

${\displaystyle \left[{\begin{array}{c}{\boldsymbol {C}}\\{\boldsymbol {CA}}\\{\boldsymbol {CA}}^{2}\\\vdots \\{\boldsymbol {CA}}^{n-1}\end{array}}\right]}$

имеет ранг n.

4. ${\displaystyle (n+q)\times n}$ матрица

${\displaystyle \left[{\begin{array}{c}{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {-\lambda }}{\boldsymbol {I}}\\{\boldsymbol {C}}\end{array}}\right]}$

имеет полный ранг столбца при каждом собственном значении ${\displaystyle \lambda }$ из ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$.

Если, кроме того, все собственные значения ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ иметь отрицательные реальные части (${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ устойчиво) и единственное решение

${\displaystyle {\boldsymbol {A^{T}}}{\boldsymbol {W}}_{o}+{\boldsymbol {W}}_{o}{\boldsymbol {A}}=-{\boldsymbol {C^{T}C}}}$

положительно определена, то система наблюдаема. Решение называется грамианом наблюдаемости и может быть выражено как

${\displaystyle {\boldsymbol {W_{o}}}=\int _{0}^{\infty }e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau }{\boldsymbol {C^{T}C}}e^{{\boldsymbol {A}}\tau }d\tau }$

В следующем разделе мы подробнее рассмотрим грамиан наблюдаемости.

Грамиан наблюдаемости

Грамиан наблюдаемости может быть найден как решение Уравнение Ляпунова данный

${\displaystyle {\boldsymbol {A^{T}}}{\boldsymbol {W}}_{o}+{\boldsymbol {W}}_{o}{\boldsymbol {A}}=-{\boldsymbol {C^{T}C}}}$

Фактически, мы можем видеть, что если мы возьмем

${\displaystyle {\boldsymbol {W_{o}}}=\int _{0}^{\infty }e^{{\boldsymbol {A^{T}}}\tau }{\boldsymbol {C^{T}C}}e^{{\boldsymbol {A}}\tau }d\tau }$

в качестве решения мы обнаружим, что:

${\displaystyle {\begin{array}{ccccc}{\boldsymbol {A^{T}}}{\boldsymbol {W}}_{o}+{\boldsymbol {W}}_{o}{\boldsymbol {A}}&=&\int _{0}^{\infty }{\boldsymbol {A^{T}}}e^{{\boldsymbol {A^{T}}}\tau }{\boldsymbol {C^{T}C}}e^{{\boldsymbol {A}}\tau }d\tau &+&\int _{0}^{\infty }e^{{\boldsymbol {A^{T}}}\tau }{\boldsymbol {C^{T}C}}e^{{\boldsymbol {A}}\tau }{\boldsymbol {A}}d\tau \\&=&\int _{0}^{\infty }{\frac {d}{d\tau }}(e^{{\boldsymbol {A^{T}}}\tau }{\boldsymbol {C}}^{T}{\boldsymbol {C}}e^{{\boldsymbol {A}}\tau })d\tau &=&e^{{\boldsymbol {A^{T}}}t}{\boldsymbol {C}}^{T}{\boldsymbol {C}}e^{{\boldsymbol {A}}t}|_{t=0}^{\infty }\\&=&{\boldsymbol {0}}-{\boldsymbol {C^{T}C}}\\&=&{\boldsymbol {-C^{T}C}}\end{array}}}$

Где мы использовали тот факт, что ${\displaystyle e^{{\boldsymbol {A}}t}=0}$ в ${\displaystyle t=\infty }$ для стабильного ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ (все его собственные значения имеют отрицательную действительную часть). Это показывает нам, что ${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{o}}$ действительно является решением анализируемого уравнения Ляпунова.

Характеристики

Мы видим, что ${\displaystyle {\boldsymbol {C^{T}C}}}$ является симметричной матрицей, поэтому ${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{o}}$.

Мы можем снова использовать тот факт, что если ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ устойчиво (все его собственные значения имеют отрицательную действительную часть), чтобы показать, что ${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{o}}$ уникален. Чтобы доказать это, предположим, что у нас есть два разных решения для

${\displaystyle {\boldsymbol {A^{T}}}{\boldsymbol {W}}_{o}+{\boldsymbol {W}}_{o}{\boldsymbol {A}}=-{\boldsymbol {C^{T}C}}}$

и они даны ${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{o1}}$ и ${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{o2}}$. Тогда у нас есть:

${\displaystyle {\boldsymbol {A^{T}}}{\boldsymbol {(W}}_{o1}-{\boldsymbol {W}}_{o2})+{\boldsymbol {(W}}_{o1}-{\boldsymbol {W}}_{o2}){\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {0}}}$

Умножение на ${\displaystyle e^{{\boldsymbol {A^{T}}}t}}$ слева и по ${\displaystyle e^{{\boldsymbol {A}}t}}$ по праву, приведет нас к

${\displaystyle e^{{\boldsymbol {A^{T}}}t}[{\boldsymbol {A^{T}}}{\boldsymbol {(W}}_{o1}-{\boldsymbol {W}}_{o2})+{\boldsymbol {(W}}_{o1}-{\boldsymbol {W}}_{o2}){\boldsymbol {A}}]e^{{\boldsymbol {A}}t}={\frac {d}{dt}}[e^{{\boldsymbol {A^{T}}}t}[({\boldsymbol {W}}_{o1}-{\boldsymbol {W}}_{o2})e^{{\boldsymbol {A}}t}]={\boldsymbol {0}}}$

Интеграция из ${\displaystyle 0}$ к ${\displaystyle \infty }$:

${\displaystyle [e^{{\boldsymbol {A^{T}}}t}[({\boldsymbol {W}}_{o1}-{\boldsymbol {W}}_{o2})e^{{\boldsymbol {A}}t}]|_{t=0}^{\infty }={\boldsymbol {0}}}$

используя тот факт, что ${\displaystyle e^{{\boldsymbol {A}}t}\rightarrow 0}$ в качестве ${\displaystyle t\rightarrow \infty }$:

${\displaystyle {\boldsymbol {0}}-({\boldsymbol {W}}_{o1}-{\boldsymbol {W}}_{o2})={\boldsymbol {0}}}$

Другими словами, ${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{o}}$ должно быть уникальным.

Также мы видим, что

${\displaystyle {\boldsymbol {x^{T}W_{o}x}}=\int _{0}^{\infty }{\boldsymbol {x}}^{T}e^{{\boldsymbol {A^{T}}}t}{\boldsymbol {C^{T}C}}e^{{\boldsymbol {A}}t}{\boldsymbol {x}}dt=\int _{0}^{\infty }\left\Vert {\boldsymbol {Ce^{{\boldsymbol {A}}t}{\boldsymbol {x}}}}\right\Vert _{2}^{2}dt}$

положительно для любого ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ (в предположении невырожденного случая, когда ${\displaystyle {\displaystyle {\boldsymbol {Ce^{{\boldsymbol {A}}t}{\boldsymbol {x}}}}}}$ не тождественно нулю), и это делает ${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{o}}$ положительно определенная матрица.

Дополнительные свойства наблюдаемых систем можно найти в,^[1] а также доказательство других эквивалентных утверждений «Пара ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {C}})}$ является наблюдаемым », представленном в разделе Наблюдаемость в системах LTI.

Системы с дискретным временем

Для систем с дискретным временем как

${\displaystyle {\begin{array}{c}{\boldsymbol {x}}[k+1]{\boldsymbol {=Ax}}[k]+{\boldsymbol {Bu}}[k]\\{\boldsymbol {y}}[k]={\boldsymbol {Cx}}[k]+{\boldsymbol {Du}}[k]\end{array}}}$

Можно проверить, что для утверждения «Пара ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {C}})}$ является наблюдаемым »(эквивалентности очень похожи для случая непрерывного времени).

Нас интересует эквивалентность, утверждающая, что если «Пара ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {C}})}$ наблюдаемо "и все собственные значения ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ иметь величину меньше, чем ${\displaystyle 1}$ (${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ устойчиво), то единственное решение

${\displaystyle {\boldsymbol {A^{T}}}{\boldsymbol {W}}_{do}{\boldsymbol {A}}-W_{do}=-{\boldsymbol {C^{T}C}}}$

положительно определен и задается

${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{do}=\sum _{m=0}^{\infty }({\boldsymbol {A}}^{T})^{m}{\boldsymbol {C}}^{T}{\boldsymbol {C}}{\boldsymbol {A}}^{m}}$

Это называется грамианом дискретной наблюдаемости. Мы можем легко увидеть соответствие между дискретным временем и случаем непрерывного времени, то есть если мы можем проверить, что ${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{dc}}$ положительно определен, и все собственные значения ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ иметь величину меньше, чем ${\displaystyle 1}$, система ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}})}$ наблюдается. Дополнительные свойства и доказательства можно найти в.^[2]

Системы с линейным изменением во времени

Системы с линейным временным вариантом (LTV) имеют вид:

${\displaystyle {\begin{array}{c}{\dot {\boldsymbol {x}}}(t){\boldsymbol {=A}}(t){\boldsymbol {x}}(t)+{\boldsymbol {B}}(t){\boldsymbol {u}}(t)\\{\boldsymbol {y}}(t)={\boldsymbol {C}}(t){\boldsymbol {x}}(t)\end{array}}}$

То есть матрицы ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$, ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ и ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$ есть записи, которые меняются со временем. Опять же, а также в случае непрерывного времени и в случае дискретного времени, может быть интересно обнаружить, если система, заданная парой ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}}(t),{\boldsymbol {C}}(t))}$ наблюдается или нет. Это можно сделать аналогично предыдущим случаям.

Система ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}}(t),{\boldsymbol {C}}(t))}$ наблюдается во время ${\displaystyle t_{0}}$ тогда и только тогда, когда существует конечное ${\displaystyle t_{1}>t_{0}}$ так что ${\displaystyle n\times n}$ матрица, также называемая грамианом наблюдаемости, имеет вид

${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{o}(t_{0},t_{1})=\int _{_{0}}^{^{\infty }}{\boldsymbol {\Phi }}^{T}(t_{1},\tau ){\boldsymbol {C}}^{T}(\tau ){\boldsymbol {C}}(\tau ){\boldsymbol {\Phi }}(t_{1},\tau )d\tau }$

куда ${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(t,\tau )}$ - матрица перехода состояний ${\displaystyle {\boldsymbol {\dot {x}}}={\boldsymbol {A}}(t){\boldsymbol {x}}}$ неособое.

Опять же, у нас есть аналогичный метод, чтобы определить, является ли система наблюдаемой или нет.

Свойства ${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{o}(t_{0},t_{1})}$

У нас есть грамиан наблюдаемости ${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{o}(t_{0},t_{1})}$ обладают следующим свойством:

${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{o}(t_{0},t_{1})={\boldsymbol {W}}_{o}(t_{0},t)+{\boldsymbol {\Phi }}^{T}(t,t_{0}){\boldsymbol {W}}_{o}(t,t_{0}){\boldsymbol {\Phi }}(t,t_{0})}$

что легко увидеть по определению ${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{o}(t_{0},t_{1})}$ и свойством матрицы перехода состояний, которое утверждает, что:

${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(t_{0},t_{1})={\boldsymbol {\Phi }}(t_{1},\tau ){\boldsymbol {\Phi }}(\tau ,t_{0})}$

Подробнее о грамиане наблюдаемости можно найти в.^[3]

Смотрите также

• Наблюдаемость
• Грамиан управляемости
• Матрица грамиана
• Сингулярное значение Ганкеля

Рекомендации

1. Чен, Чи-Цзун (1999). Теория линейных систем и дизайн, третье издание. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. п.156. ISBN  0-19-511777-8.
2. Чен, Чи-Цзун (1999). Теория линейных систем и дизайн, третье издание. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. п.171. ISBN  0-19-511777-8.
3. Чен, Чи-Цзун (1999). Теория линейных систем и дизайн, третье издание. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. п.179. ISBN  0-19-511777-8.

внешняя ссылка

• Функция Mathematica для вычисления грамиана наблюдаемости