Оптические скаляры - Optical scalars

В общая теория относительности, оптические скаляры обратитесь к набору из трех скаляр функции ${displaystyle {{hat { heta }}}$ (расширение), ${displaystyle {hat {sigma }}}$ (сдвиг) и ${displaystyle {hat {omega }}}$ (закрутка / вращение / завихренность)${displaystyle }}$ описывающий распространение геодезический нуль соответствие.^{[1][2][3][4][5]}

Фактически, эти три скаляра ${displaystyle {{hat { heta }},,{hat {sigma }},,{hat {omega }}}}$ могут быть определены и для времениподобных, и для нулевых геодезических конгруэнций в идентичном духе, но они называются «оптическими скалярами» только для нулевого случая. Также это их тензорные предшественники ${displaystyle {{hat { heta }}{hat {h}}_{ab},,{hat {sigma }}_{ab},,{hat {omega }}_{ab}}}$ которые приняты в тензорных уравнениях, а скаляры ${displaystyle {{hat { heta }},,{hat {sigma }},,{hat {omega }}}}$ в основном проявляются в уравнениях, написанных на языке Формализм Ньюмана – Пенроуза.

Определения: расширение, сдвиг и скручивание

Для геодезических времениподобных конгруэнций

Обозначим касательное векторное поле мировой линии наблюдателя (в подобный времени конгруэнтность) как ${displaystyle Z^{a}}$, а затем можно было бы построить индуцированные "пространственные метрики", которые

${displaystyle (1)quad h^{ab}=g^{ab}+Z^{a}Z^{b};,quad h_{ab}=g_{ab}+Z_{a}Z_{b};,quad h_{;;b}^{a}=delta _{;;b}^{a}+Z^{a}Z_{b};,}$

куда ${displaystyle h_{;;b}^{a}}$ работает как оператор пространственного проектирования. Использовать ${displaystyle h_{;;b}^{a}}$ проецировать координатную ковариантную производную ${displaystyle abla _{b}Z_{a}}$ и получаем «пространственный» вспомогательный тензор ${displaystyle B_{ab}}$,

${displaystyle (2)quad B_{ab}=h_{;;a}^{c},h_{;;b}^{d},abla _{d}Z_{c}=abla _{b}Z_{a}+A_{a}Z_{b};,}$

куда ${displaystyle A_{a}}$ представляет собой четырехкратное ускорение, а ${displaystyle B_{ab}}$ чисто пространственный в том смысле, что ${displaystyle B_{ab}Z^{a}=B_{ab}Z^{b}=0}$. Специально для наблюдателя с геодезической временной линией мира мы имеем

${displaystyle (3)quad A_{a}=0;,quad Rightarrow quad B_{ab}=abla _{b}Z_{a};.}$

Теперь разложите ${displaystyle B_{ab}}$ на его симметричную и антисимметричную части ${displaystyle heta _{ab}}$ и ${displaystyle omega _{ab}}$,

${displaystyle (4)quad heta _{ab}=B_{(ab)};,quad omega _{ab}=B_{[ab]};.}$

${displaystyle omega _{ab}=B_{[ab]}}$ без следов (${displaystyle g^{ab}omega _{ab}=0}$) пока ${displaystyle heta _{ab}}$ имеет ненулевой след, ${displaystyle g^{ab} heta _{ab}= heta }$. Таким образом, симметричная часть ${displaystyle heta _{ab}}$ можно в дальнейшем переписать на его следовую и бесследную часть,

${displaystyle (5)quad heta _{ab}={frac {1}{3}} heta h_{ab}+sigma _{ab};.}$

Следовательно, в целом мы имеем

${displaystyle (6)quad B_{ab}={frac {1}{3}} heta h_{ab}+sigma _{ab}+omega _{ab};,quad heta =g^{ab} heta _{ab}=g^{ab}B_{(ab)};,quad sigma _{ab}= heta _{ab}-{frac {1}{3}} heta h_{ab};,quad omega _{ab}=B_{[ab]};.}$

Для геодезических нулевых конгруэнций

Теперь рассмотрим геодезическую ноль сравнение с касательным векторным полем ${displaystyle k^{a}}$. Подобно времениподобной ситуации, мы также определяем

${displaystyle (7)quad {hat {B}}_{ab}:=abla _{b}k_{a};,}$

который можно разложить на

${displaystyle (8)quad {hat {B}}_{ab}={hat { heta }}_{ab}+{hat {omega }}_{ab}={frac {1}{2}}{hat { heta }}{hat {h}}_{ab}+{hat {sigma }}_{ab}+{hat {omega }}_{ab};,}$

куда

${displaystyle (9)quad {hat { heta }}_{ab}={hat {B}}_{(ab)};,quad {hat { heta }}={hat {h}}^{ab}{hat {B}}_{ab};,quad {hat {sigma }}_{ab}={hat {B}}_{(ab)}-{frac {1}{2}}{hat { heta }}{hat {h}}_{ab};,quad {hat {omega }}_{ab}={hat {B}}_{[ab]};.}$

Здесь «заштрихованные» величины используются, чтобы подчеркнуть, что эти величины для нулевых конгруэнций являются двумерными, в отличие от трехмерного времениподобного случая. Однако, если мы обсуждаем в статье только нулевые конгруэнции, шляпы можно опустить для простоты.

Определения: оптические скаляры для нулевых конгруэнций

Оптические скаляры ${displaystyle {{hat { heta }},,{hat {sigma }},,{hat {omega }}}}$^{[1][2][3][4][5]} прямо из "скаляризации" тензоров ${displaystyle {{hat { heta }},,{hat {sigma }}_{ab},,{hat {omega }}_{ab}}}$ в уравнении (9).

В расширение геодезической нулевой конгруэнтности определяется как (где для очистки мы примем другой стандартный символ "${displaystyle ;}$"для обозначения ковариантной производной ${displaystyle abla _{a}}$)

${displaystyle (10)quad {hat { heta }}={frac {1}{2}},k^{a}{}_{;,a};.}$

Вставка A: Сравнение с «темпами расширения нулевого сравнения»

Как показано в статье "Скорость расширения нулевого сравнения ", исходящие и входящие скорости расширения, обозначенные ${displaystyle heta _{(ell )}}$ и ${displaystyle heta _{(n)}}$ соответственно, определяются

${displaystyle (A.1)quad heta _{(ell )}:=h^{ab}abla _{a}l_{b};,}$

${displaystyle (A.2)quad heta _{(n)}:=h^{ab}abla _{a}n_{b};,}$

куда ${displaystyle h^{ab}=g^{ab}+l^{a}n^{b}+n^{a}l^{b}}$ представляет собой индуцированную метрику. Также, ${displaystyle heta _{(ell )}}$ и ${displaystyle heta _{(n)}}$ можно рассчитать через

${displaystyle (A.3)quad heta _{(ell )}=g^{ab}abla _{a}l_{b}-kappa _{(ell )};,}$

${displaystyle (A.4)quad heta _{(n)}=g^{ab}abla _{a}n_{b}-kappa _{(n)};,}$

куда ${displaystyle kappa _{(ell )}}$ и ${displaystyle kappa _{(n)}}$ являются соответственно исходящим и входящим коэффициентами несродства, определяемыми

${displaystyle (A.5)quad l^{a}abla _{a}l_{b}=kappa _{(ell )}l_{b};,}$

${displaystyle (A.6)quad n^{a}abla _{a}n_{b}=kappa _{(n)}n_{b};.}$

Более того, на языке Формализм Ньюмана – Пенроуза с условием ${displaystyle {(-,+,+,+);l^{a}n_{a}=-1,,m^{a}{ar {m}}_{a}=1}}$, у нас есть

${displaystyle (A.7)quad heta _{(l)}=-(ho +{ar {ho }})=-2{ ext{Re}}(ho ),,quad heta _{(n)}=mu +{ar {mu }}=2{ ext{Re}}(mu ),,}$

Как мы видим, для геодезической нулевой конгруэнции оптический скаляр ${displaystyle heta }$ играет ту же роль со скоростью расширения ${displaystyle heta _{(ell )}}$ и ${displaystyle heta _{(n)}}$. Следовательно, для геодезической нулевой конгруэнции ${displaystyle heta }$ будет равно либо ${displaystyle heta _{(ell )}}$ или же ${displaystyle heta _{(n)}}$.

В срезать геодезической нулевой конгруэнции определяется равенством

${displaystyle (11)quad {hat {sigma }}^{2}={hat {sigma }}_{ab}{hat {ar {sigma }}}^{ab}={frac {1}{2}},g^{ca},g^{db},k_{(a,;,b)},k_{c,;,d}-{Big (}{frac {1}{2}},k^{a}{}_{;,a}{Big )}^{2}=,g^{ca},g^{db}{frac {1}{2}},k_{(a,;,b)},k_{c,;,d}-{hat { heta }}^{2};.}$

В крутить геодезической нулевой конгруэнции определяется формулой

${displaystyle (12)quad {hat {omega }}^{2}={frac {1}{2}},k_{[a,;,b]},k^{a,;,b}=g^{ca},g^{db},k_{[a,;,b]},k_{c,;,d};.}$

На практике геодезическая нулевая конгруэнтность обычно определяется либо исходящей (${displaystyle k^{a}=l^{a}}$) или входящий (${displaystyle k^{a}=n^{a}}$) касательное векторное поле (которые также являются его нулевыми нормалями). Таким образом, мы получаем два набора оптических скаляров ${displaystyle {{hat { heta }}_{(ell )},,{hat {sigma }}_{(ell )},,{hat {omega }}_{(ell )}}}$ и ${displaystyle {{hat { heta }}_{(n)},,{hat {sigma }}_{(n)},,{hat {omega }}_{(n)}}}$, которые определены относительно ${displaystyle l^{a}}$ и ${displaystyle n^{a}}$, соответственно.

Приложения в разложении уравнений распространения

Для геодезической времениподобной конгруэнтности

Распространение (или эволюция) ${displaystyle B_{ab}}$ для геодезического времениподобного сравнения вдоль ${displaystyle Z^{c}}$ соблюдает следующее уравнение,

${displaystyle (13)quad Z^{c}abla _{c}B_{ab}=-B_{;;b}^{c}B_{ac}+R_{cbad}Z^{c}Z^{d};.}$

Возьмите след уравнения (13), сжав его с ${displaystyle g^{ab}}$, и уравнение (13) принимает вид

${displaystyle (14)quad Z^{c}abla _{c} heta = heta _{,, au }=-{frac {1}{3}} heta ^{2}-sigma _{ab}sigma ^{ab}+omega _{ab}omega ^{ab}-R_{ab}Z^{a}Z^{b}}$

в терминах величин в уравнении (6). Более того, бесследная симметричная часть уравнения (13) имеет вид

${displaystyle (15)quad Z^{c}abla _{c}sigma _{ab}=-{frac {2}{3}} heta sigma _{ab}-sigma _{ac}sigma _{;b}^{c}-omega _{ac}omega _{;b}^{c}+{frac {1}{3}}h_{ab},(sigma _{cd}sigma ^{cd}-omega _{cd}omega ^{cd})+C_{cbad}Z^{c}Z^{d}+{frac {1}{2}}{ ilde {R}}_{ab},.}$

Наконец, антисимметричная составляющая уравнения (13) дает

${displaystyle (16)quad Z^{c}abla _{c}omega _{ab}=-{frac {2}{3}} heta omega _{ab}-2sigma _{;[b}^{c}omega _{a]c};.}$

Для геодезической нулевой конгруэнции

(Общая) геодезическая нулевая конгруэнция подчиняется следующему уравнению распространения:

${displaystyle (16)quad k^{c}abla _{c}{hat {B}}_{ab}=-{hat {B}}_{;;b}^{c}{hat {B}}_{ac}+{widehat {R_{cbad}k^{c}k^{d}}};.}$

С определениями, приведенными в уравнении (9), уравнение (14) можно переписать в следующие компонентные уравнения:

${displaystyle (17)quad k^{c}abla _{c}{hat { heta }}={hat { heta }}_{,,lambda }=-{frac {1}{2}}{hat { heta }}^{2}-{hat {sigma }}_{ab}{hat {sigma }}^{ab}+{hat {omega }}_{ab}{hat {omega }}^{ab}-{widehat {R_{cd}k^{c}k^{d}}};,}$

${displaystyle (18)quad k^{c}abla _{c}{hat {sigma }}_{ab}=-{hat { heta }}{hat {sigma }}_{ab}+{widehat {C_{cbad}k^{c}k^{d}}};,}$

${displaystyle (19)quad k^{c}abla _{c}{hat {omega }}_{ab}=-{hat { heta }}{hat {omega }}_{ab};.}$

Для ограниченной геодезической нулевой конгруэнции

Для геодезической нулевой конгруэнции, ограниченной на нулевой гиперповерхности, имеем

${displaystyle (20)quad k^{c}abla _{c} heta ={hat { heta }}_{,,lambda }=-{frac {1}{2}}{hat { heta }}^{2}-{hat {sigma }}_{ab}{hat {sigma }}^{ab}-{widehat {R_{cd}k^{c}k^{d}}}+kappa _{(ell )}{hat { heta }};,}$

${displaystyle (21)quad k^{c}abla _{c}{hat {sigma }}_{ab}=-{hat { heta }}{hat {sigma }}_{ab}+{widehat {C_{cbad}k^{c}k^{d}}}+kappa _{(ell )}{hat {sigma }}_{ab};,}$

${displaystyle (22)quad k^{c}abla _{c}{hat {omega }}_{ab}=0;.}$

Коэффициенты спина, уравнение Райчаудхури и оптические скаляры

Для лучшего понимания предыдущего раздела мы кратко рассмотрим значения соответствующих спиновых коэффициентов NP при изображении нулевые сравнения.^[1] В тензор форма Уравнение Райчаудхури^[6] управление нулевыми потоками читает

${displaystyle (23)quad {mathcal {L}}_{ell } heta _{(ell )}=-{frac {1}{2}} heta _{(ell )}^{2}+{ ilde {kappa }}_{(ell )} heta _{(ell )}-sigma _{ab}sigma ^{ab}+{ ilde {omega }}_{ab}{ ilde {omega }}^{ab}-R_{ab}l^{a}l^{b},,}$

куда ${displaystyle { ilde {kappa }}_{(ell )}}$ определяется так, что ${displaystyle { ilde {kappa }}_{(ell )}l^{b}:=l^{a}abla _{a}l^{b}}$. Величины в уравнении Райчаудхури связаны со спиновыми коэффициентами соотношением

${displaystyle (24)quad heta _{(ell )}=-(ho +{ar {ho }})=-2{ ext{Re}}(ho ),,quad heta _{(n)}=mu +{ar {mu }}=2{ ext{Re}}(mu ),,}$

${displaystyle (25)quad sigma _{ab}=-sigma {ar {m}}_{a}{ar {m}}_{b}-{ar {sigma }}m_{a}m_{b},,}$

${displaystyle (26)quad { ilde {omega }}_{ab}={frac {1}{2}},{Big (}ho -{ar {ho }}{Big )},{Big (}m_{a}{ar {m}}_{b}-{ar {m}}_{a}m_{b}{Big )}={ ext{Im}}(ho )cdot {Big (}m_{a}{ar {m}}_{b}-{ar {m}}_{a}m_{b}{Big )},,}$

где уравнение (24) непосредственно следует из ${displaystyle {hat {h}}^{ab}={hat {h}}^{ba}=m^{b}{ar {m}}^{a}+{ar {m}}^{b}m^{a}}$ и

${displaystyle (27)quad heta _{(ell )}={hat {h}}^{ba}abla _{a}l_{b}=m^{b}{ar {m}}^{a}abla _{a}l_{b}+{ar {m}}^{b}m^{a}abla _{a}l_{b}=m^{b}{ar {delta }}l_{b}+{ar {m}}^{b}delta l_{b}=-(ho +{ar {ho }}),,}$

${displaystyle (28)quad heta _{(n)}={hat {h}}^{ba}abla _{a}n_{b}={ar {m}}^{b}m^{a}abla _{a}n_{b}+m^{b}{ar {m}}^{a}abla _{a}n_{b}={ar {m}}^{b}delta n_{b}+m^{b}{ar {delta }}n_{b}=mu +{ar {mu }},.}$

Смотрите также

• Уравнение райчаудхари
• Конгруэнтность (общая теория относительности)

Рекомендации

1. Эрик Пуассон. Инструментарий релятивиста: математика механики черной дыры. Кембридж: Издательство Кембриджского университета, 2004. Глава 2.
2. Ганс Стефани, Дитрих Крамер, Малькольм МакКаллум, Корнелиус Хенселэрс, Эдуард Херльт. Точные решения уравнений поля Эйнштейна.. Кембридж: Издательство Кембриджского университета, 2003. Глава 6.
3. Субраманян Чандрасекар. Математическая теория черных дыр. Оксфорд: Oxford University Press, 1998. Раздел 9. (а).
4. Джереми Брансом Гриффитс, Иржи Подольский. Точное пространство-время в общей теории относительности Эйнштейна. Кембридж: Издательство Кембриджского университета, 2009. Раздел 2.1.3.
5. П. Шнайдер, Дж. Элерс, Э. Э. Фалько. Гравитационные линзы. Берлин: Springer, 1999. Раздел 3.4.2.
6. Саян Кар, Сумитра СенГупта. Уравнения Райчаудхури: краткий обзор. Прамана, 2007, 69(1): 49-76. [arxiv.org/abs/gr-qc/0611123v1 gr-qc / 0611123]