Космическое пространство (математика) - Outer space (mathematics)

В математическом предмете геометрическая теория групп, то Каллер – Фогтманн Космическое пространство или просто Космическое пространство из свободная группа F_п это топологическое пространство состоящий из так называемых «структур отмеченных метрических графов» тома 1 на F_п. Космическое пространство, обозначенное Икс_п или же резюме_п, оснащен натуральным действие из группа внешних автоморфизмов Из(F_п) из F_п. Космическое пространство было представлено в статье 1986 года,^[1] из Марк Каллер и Карен Фогтманн и служит свободным групповым аналогом Пространство Тейхмюллера гиперболической поверхности. Космическое пространство используется для изучения групп гомологий и когомологий Out (F_п) и получить информацию об алгебраических, геометрических и динамических свойствах Out (F_п), ее подгрупп и отдельных внешних автоморфизмов группы F_п. Космос Икс_п также можно рассматривать как набор F_п-эквивариантные изометрические типы минимальных свободных дискретных изометрических действий F_п на F_п на р-деревья Т такой, что фактор-метрический граф Т/F_п имеет том 1.

История

Космическое пространство ${displaystyle X_{n}}$ был представлен в статье 1986 г.,^[1] из Марк Каллер и Карен Фогтманн, вдохновленный аналогией с Пространство Тейхмюллера гиперболической поверхности. Они показали, что естественное действие ${displaystyle operatorname {Out} (F_{n})}$ на ${displaystyle X_{n}}$ правильно прерывный, и что ${displaystyle X_{n}}$ стягивается.

В той же статье Каллер и Фогтманн построили вложение с помощью функции длины перевода обсуждается ниже, из ${displaystyle X_{n}}$ в бесконечномерное проективное пространство ${displaystyle mathbb {P} ^{mathcal {C}}=mathbb {R} ^{mathcal {C}}-{0}/mathbb {R} _{>0}}$, куда ${displaystyle {mathcal {C}}}$ - множество нетривиальных классов сопряженности элементов ${displaystyle F_{n}}$. Они также доказали, что закрытие ${displaystyle {overline {X}}_{n}}$ из ${displaystyle X_{n}}$ в ${displaystyle mathbb {P} ^{mathcal {C}}}$ компактный.

Позже комбинация результатов Коэна и Лустига^[2] и из Бествины и Файна^[3] идентифицированы (см. раздел 1.3^[4])космос ${displaystyle {overline {X}}_{n}}$ с пространством ${displaystyle {overline {CV}}_{n}}$ проективных классов «очень малых» минимальных изометрических действий ${displaystyle F_{n}}$ на ${displaystyle mathbb {R} }$-деревья.

Формальное определение

Отмеченные метрические графики

Позволять п ≥ 2. Для свободной группы F_п исправить "розу" р_п, то есть клин, из п круги, зажатые в вершине v, и зафиксируем изоморфизм между F_п и фундаментальная группа π₁(р_п, v) из р_п. С этого момента мы определяем F_п и π₁(р_п, v) через этот изоморфизм.

А маркировка на F_п состоит из гомотопическая эквивалентность ж : р_п → Γ, где Γ - конечный связный граф без вершин первой и второй степени. Вплоть до (свободной) гомотопии, ж однозначно определяется изоморфизмом ж_# : π₁(р_п) → π₁(Γ), т. Е. Изоморфизмом F_п → π₁(Γ).

А метрический график конечный связный граф ${displaystyle gamma }$ вместе с присвоением каждому топологическому ребру е Γ положительного действительного числа L(е)> 0 называется длина из е. объем метрического графа - это сумма длин его топологических ребер.

А отмеченная структура метрического графа на F_п состоит из маркировки ж : р_п → Γ вместе со структурой метрического графа L на Γ.

Две отмеченные структуры метрического графа ж₁ : р_п → Γ₁ и ж₂ : р_п → Γ₂ находятся эквивалент если существует изометрия θ : Γ₁ → Γ₂ такое, что с точностью до свободной гомотопии имеем θ о ж₁ = ж₂.

В Космическое пространство Икс_п состоит из классов эквивалентности всех помеченных структур метрических графов первого тома на F_п.

Слабая топология космического пространства

Открытые симплексы

Позволять ж : р_п → Γ, где Γ - маркировка, и пусть k - количество топологических ребер в Γ. Мы упорядочиваем ребра графа Γ как е₁,..., е_k. Позволять

${displaystyle Delta _{k}=left{(x_{1},dots ,x_{k})in mathbb {R} ^{k},{Big |},sum _{i=1}^{k}x_{i}=1,x_{i}>0{ ext{ for }}i=1,dots ,kight}}$

быть стандартом (k - 1) -мерный открытый симплекс в р^k.

Данный ж, есть естественная карта j : Δ_k → Икс_п, где для Икс = (Икс₁,..., Икс_k) ∈ Δ_k, смысл j(Икс) из Икс_п дается маркировкой ж вместе со структурой метрического графа L на Γ такая, что L(е_я) = Икс_я за я = 1,...,k.

Можно показать, что j на самом деле является инъективным отображением, т. е. различными точками ∆_k соответствуют неэквивалентным помеченным структурам метрического графа на F_п.

Набор j(Δ_k) называется открытый симплекс в Икс_п соответствующий ж и обозначается S(ж). По конструкции, Икс_п объединение открытых симплексов, соответствующих всем разметкам на F_п. Обратите внимание, что два открытых симплекса в Икс_п либо не пересекаются, либо совпадают.

Закрытые симплексы

Позволять ж : р_п → Γ, где Γ - маркировка, и пусть k - количество топологических ребер в Γ. Как и раньше, мы упорядочиваем ребра Γ следующим образом: е₁,..., е_k. Определим Δ_k′ ⊆ р^k как набор всех Икс = (Икс₁,..., Икс_k) ∈ р^k, так что ${displaystyle sum _{i=1}^{k}x_{i}=1}$, так что каждый Икс_я ≥ 0 и такое, что множество всех ребер е_я в ${displaystyle Gamma }$ с Икс_я = 0 - подлес в Γ.

Карта j : Δ_k → Икс_п распространяется на карту час : Δ_k′ → Икс_п следующее. За Икс в Δ_k положить час(Икс) = j(Икс). За Икс ∈ Δ_k′ - Δ_k смысл час(Икс) из Икс_п получается путем снятия маркировки ж, стягивая все края е_я из ${displaystyle Gamma }$ с Икс_я = 0 для получения новой маркировки ж₁ : р_п → Γ₁ а затем присваивая каждому оставшемуся ребру е_я из Γ₁ длина Икс_я > 0.

Можно показать, что для каждой маркировки ж карта час : Δ_k′ → Икс_п все еще инъективен. Образ час называется закрытый симплекс в Икс_п соответствующий ж и обозначается S′(ж). Каждая точка в Икс_п принадлежит только конечному числу замкнутых симплексов и точка Икс_п представлен маркировкой ж : р_п → Γ, где граф Γ трехвалентен, принадлежит единственному замкнутому симплексу в Икс_п, а именно S′(ж).

В слабая топология в космическом пространстве Икс_п определяется тем, что подмножество C из Икс_п закрывается тогда и только тогда, когда для каждой маркировки ж : р_п → Γ множество час⁻¹(C) замкнуто в Δ_k′. В частности, карта час : Δ_k′ → Икс_п это топологическое вложение.

Точки космического пространства как действия на деревьях

Позволять Икс быть точкой в Икс_п дается маркировкой ж : р_п → Γ со структурой метрического графа первого объема L на Γ. Позволять Т быть универсальный чехол группы Γ. Таким образом Т односвязный граф, то есть Т является топологическим деревом. Мы также можем поднять метрическую структуру L к Т давая каждому краю Т такой же длины, как длина его образа в Γ. Это превращается Т в метрическое пространство (Т,d) который является настоящее дерево. Фундаментальная группа π₁(Γ) действует на Т к покрывающие преобразования которые также являются изометриями (Т,d) с факторпространством Т/π₁(Γ) = Γ. Поскольку индуцированный гомоморфизм ж_# это изоморфизм между F_п = π₁(р_п) и π₁(Γ), мы также получаем изометрическое действие F_п на Т с Т/F_п = Γ. Это действие бесплатное и дискретный. Поскольку Γ - конечный связный граф без вершин первой степени, это действие также минимальный, означающий, что Т не имеет надлежащего F_п-инвариантные поддеревья.

Более того, любое минимальное свободное и дискретное изометрическое действие F_п на реальном дереве с фактором, являющимся метрическим графом объема, таким образом возникает единица из некоторой точки Икс из Икс_п. Это определяет биективное соответствие между Икс_п и множество классов эквивалентности минимальных свободных и дискретных изометрических действий F_п на настоящие деревья с частными первого тома. Вот два таких действия F_п на настоящих деревьях Т₁ и Т₂ находятся эквивалент если существует F_п-эквивариантная изометрия между Т₁ и Т₂.

Функции длины

Дайте действие F_п на настоящем дереве Т как и выше, можно определить функция длины перевода связать с этим действием:

${displaystyle ell _{T}:F_{n} o mathbb {R} ,quad ell _{T}(g)=min _{tin T}d(t,gt),quad { ext{ for }}gin F_{n}.}$

За грамм ≠ 1 существует (единственная) изометрически вложенная копия р в Т, называется ось из грамм, так что грамм действует на эту ось путем перевода величины ${displaystyle ell _{T}(g)>0}$. По этой причине ${displaystyle ell _{T}(g)}$ называется длина перевода из грамм. Для любого грамм, ты в F_п у нас есть ${displaystyle ell _{T}(ugu^{-1})=ell _{T}(g)}$, то есть функция ${displaystyle ell _{T}}$ постоянно на каждом класс сопряженности в грамм.

В модели отмеченного метрического графа функции длины трансляции в космическом пространстве можно интерпретировать следующим образом. Позволять Т в Икс_п быть обозначенным ж : р_п → Γ со структурой метрического графа первого объема L на Γ. Позволять грамм ∈ F_п = π₁(р_п). Первый толчок грамм вперед через ж_# чтобы получить замкнутый контур в Γ, а затем стянуть этот контур с погруженным контуром в Γ. В L-длина этой цепи - длина трансляции ${displaystyle ell _{T}(g)}$ из грамм.

Основной общий факт теории групповых действий на реальных деревьях гласит, что точка внешнего пространства однозначно определяется своей функцией длины трансляции. А именно, если два дерева с минимальными свободными изометрическими действиями F_п определить функции равной длины перевода на F_п тогда два дерева F_п-эквивалентно изометрично. Следовательно, карта ${displaystyle Tmapsto ell _{T}}$ из Икс_п к набору р-значные функции на F_п инъективно.

Один определяет топология функции длины или же топология осей на Икс_п следующее. Для каждого Т в Икс_п, каждое конечное подмножество K из F_п и каждый ε > 0 пусть

${displaystyle V_{T}(K,epsilon )={T'in X_{n}:|ell _{T}(g)-ell _{T'}(g)|<epsilon { ext{ for every }}gin K}.}$

В топологии функции длины для каждого Т в Икс_п основа окрестностей Т в Икс_п дается семьей V_Т(K, ε) куда K конечное подмножество F_п и где ε > 0.

Сходимость последовательностей в топологии функции длины можно охарактеризовать следующим образом. За Т в Икс_п и последовательность Т_я в Икс_п у нас есть ${displaystyle lim _{i o infty }T_{i}=T}$ если и только если для каждого грамм в F_п у нас есть ${displaystyle lim _{i o infty }ell _{T_{i}}(g)=ell _{T}(g)}$.

Топология Громова

Другая топология на ${displaystyle X_{n}}$ так называемый Топология Громова или эквивариантная топология сходимости Громова – Хаусдорфа, который предоставляет версию Сходимость Громова – Хаусдорфа. адаптирован к настройке изометрического группового действия.

При определении топологии Громова следует учитывать точки ${displaystyle X_{n}}$ как действия ${displaystyle F_{n}}$ на ${displaystyle mathbb {R} }$-деревья. Неформально, учитывая дерево ${displaystyle Tin X_{n}}$, другое дерево ${displaystyle T'in X_{n}}$ "близко" к ${displaystyle T}$ в топологии Громова, если для некоторых больших конечных поддеревьев ${displaystyle Ysubseteq T,Y'subseteq T'in X_{n}}$ и большое конечное подмножество ${displaystyle Bsubseteq F_{n}}$ существует «почти изометрия» между ${displaystyle Y'}$ и ${displaystyle Y}$ относительно которого (частичные) действия ${displaystyle B}$ на ${displaystyle Y'}$ и ${displaystyle Y}$ почти согласен. Формальное определение топологии Громова см. В.^[5]

Совпадение слабой топологии, топологии функции длины и топологии Громова

Важный основной результат утверждает, что топология Громова, слабая топология и топология функции длины на Икс_п совпадают.^[6]

Действие Out (F_п) в космическом пространстве

Группа Из(F_п) признает естественное право действие к гомеоморфизмы на Икс_п.

Сначала мы определяем действие группа автоморфизмов Aut (F_п) на Икс_п. Позволять α ∈ Aut (F_п) - автоморфизм F_п. Позволять Икс быть точкой Икс_п дается маркировкой ж : р_п → Γ со структурой метрического графа первого объема L на Γ. Позволять τ : р_п → р_п - гомотопическая эквивалентность, индуцированный гомоморфизм на фундаментальная группа уровень - это автоморфизм α из F_п = π₁(р_п). Элемент xα из Икс_п дается маркировкой ж о τ : р_п → Γ с метрической структурой L на Γ. То есть получить Икс α из Икс мы просто заранее составляем маркировку, определяющую Икс с τ.

В реальной модели дерева это действие можно описать следующим образом. Позволять Т в Икс_п - реальное дерево с минимальным свободным и дискретным изометрическим действием кообъема один F_п. Позволять α ∈ Aut (F_п). Как метрическое пространство, Tα равно Т. Действие F_п скручен α. А именно для любых т в Т и грамм в F_п у нас есть:

${displaystyle g{underset {Talpha }{cdot }}t=alpha (g){underset {T}{cdot }}t.}$

На уровне длины трансляции функционирует дерево Tα дается как:

${displaystyle ell _{Talpha }(g)=ell _{T}(alpha (g))quad { ext{ for }}gin F_{n}.}$

Затем проверяется это для вышеуказанного действия Aut (F_п) в космическом пространстве Икс_п подгруппа внутренние автоморфизмы Гостиница(F_п) содержится в ядре этого действия, то есть каждый внутренний автоморфизм действует тривиально на Икс_п. Отсюда следует, что действие Aut (F_п) на Икс_п от частных до действия Out (F_п) = Aut (F_п)/Гостиница(F_п) на Икс_п. а именно, если φ ∈ Out (F_п) - внешний автоморфизм F_п и если α в Aut (F_п) - реальный автоморфизм, представляющий φ тогда для любого Икс в Икс_п у нас есть xφ = xα.

Правильное действие Out (F_п) на Икс_п можно превратить в левое действие с помощью стандартной процедуры преобразования. А именно для φ ∈ Out (F_п) и Икс в Икс_п набор

φ Икс = Икс φ⁻¹.

Это левое действие Out (F_п) на Икс_п также иногда рассматривается в литературе, хотя большинство источников работают с правильным действием.

Модульное пространство

Факторное пространство M_п = Икс_п/Из(F_п) это пространство модулей который состоит из типов изометрий конечных связных графов Γ без вершин первой и второй степени, с фундаментальные группы изоморфен F_п (то есть с первым Бетти число равно п) с метрическими конструкциями первого объема. Фактор-топология на M_п то же самое, что дано Расстояние Громова – Хаусдорфа между метрическими графиками, представляющими точки M_п. Пространство модулей M_п не является компактный и "куспиды" в M_п возникают в результате уменьшения длины ребер к нулю для гомотопически нетривиальных подграфов (например, существенной схемы) метрического графа Γ.

Основные свойства и факты о космическом пространстве

• Космическое пространство Икс_п является стягиваемый и действие Out (F_п) на Икс_п является правильно прерывистый, как было доказано Каллером и Фогтманн в их оригинальной статье 1986 г.^[1] где было введено космическое пространство.
• Космос Икс_п имеет топологическая размерность 3п - 4. Причина в том, что если Γ - конечный связный граф без вершин первой и второй степени с фундаментальная группа изоморфен F_п, то Γ имеет не более 3п - 3 ребра и ровно 3п - 3 ребра при трехвалентности Γ. Следовательно, многомерный открытый симплекс в Икс_п имеет размерность 3п − 4.
• Космическое пространство Икс_п содержит конкретный деформационный отвод K_п из Икс_п, называется позвоночник космического пространства. Позвоночник K_п имеет размерность 2п - 3, отсутствует (F_п) -инвариантно и имеет компактный фактор под действием Out (F_п).

Непроективное космическое пространство

В непроектированное космическое пространство ${displaystyle cv_{n}}$ состоит из классов эквивалентности всех отмеченных структур метрических графов на F_п где объем метрического графика в разметке может быть любым положительным вещественным числом. Космос ${displaystyle cv_{n}}$ также можно рассматривать как множество всех свободных минимальных дискретных изометрических действий F_п на р-деревья, считается до F_п-эквивариантная изометрия. Непроективизированное космическое пространство наследует те же структуры, что и ${displaystyle X_{n}}$ имеет, в том числе совпадение трех топологий (Громова, осей, слабой), и ${displaystyle operatorname {Out} (F_{n})}$-действие. Кроме того, есть естественное действие ${displaystyle mathbb {R} _{>0}}$ на ${displaystyle cv_{n}}$ скалярным умножением.

Топологически, ${displaystyle cv_{n}}$ является гомеоморфный к ${displaystyle X_{n} imes (0,infty )}$. Особенно, ${displaystyle cv_{n}}$ также стягивается.

Проективизированное космическое пространство

Проективизированное космическое пространство - это фактор-пространство. ${displaystyle CV_{n}:=cv_{n}/mathbb {R} _{>0}}$ под действием ${displaystyle mathbb {R} _{>0}}$ на ${displaystyle cv_{n}}$ скалярным умножением. Космос ${displaystyle CV_{n}}$ снабжена фактор-топологией. Для дерева ${displaystyle Tin cv_{n}}$ его проективный класс эквивалентности обозначается ${displaystyle [T]={cT|c>0}subseteq cv_{n}}$. Действие ${displaystyle operatorname {Out} (F_{n})}$ на ${displaystyle cv_{n}}$ от естественных факторов до действия ${displaystyle operatorname {Out} (F_{n})}$ на ${displaystyle CV_{n}}$. А именно для ${displaystyle phi in operatorname {Out} (F_{n})}$ и ${displaystyle Tin cv_{n}}$ положить ${displaystyle [T]phi :=[Tphi ]}$.

Ключевое наблюдение заключается в том, что карта ${displaystyle X_{n} o CV_{n},Tmapsto [T]}$ является ${displaystyle operatorname {Out} (F_{n})}$-эквивариантный гомеоморфизм. По этой причине пробелы ${displaystyle X_{n}}$ и ${displaystyle CV_{n}}$ часто идентифицируются.

Расстояние Липшица

Расстояние Липшица,^[7] назван в честь Рудольф Липшиц, для космического пространства соответствует метрике Терстона в пространстве Тейхмюллера. По двум очкам ${displaystyle x}$,${displaystyle y}$ в Икс_п (правое) липшицево расстояние ${displaystyle d_{R}}$ определяется как (натуральный) логарифм максимально растянутого замкнутого пути из ${displaystyle x}$ к ${displaystyle y}$:

${displaystyle Lambda _{R}(x,y):=sup _{gamma in F_{n}setminus {1}}{frac {ell _{y}(gamma )}{ell _{x}(gamma )}}}$ и ${displaystyle d_{R}(x,y):=log Lambda _{R}(x,y)}$

Это асимметричная метрика (также иногда называемая квазиметрический ), т.е. нарушает только симметрию ${displaystyle d_{R}(x,y)=d_{R}(y,x)}$. Симметричная липшицева метрика обычно обозначает:

${displaystyle d(x,y):=d_{R}(x,y)+d_{R}(y,x)}$

Супремум ${displaystyle Lambda _{R}(x,y)}$ всегда получается и может быть вычислен с помощью конечного множества так называемых кандидатов ${displaystyle x}$.

${displaystyle Lambda _{R}(x,y)=max _{gamma in cand(x)}{frac {ell _{y}(gamma )}{ell _{x}(gamma )}}}$

А простой цикл, а восьмерка, и штанга

Где ${displaystyle cand(x)}$ конечное множество классов сопряженности в F_п которые соответствуют вложениям простой цикл, а восьмерка, или штангу в ${displaystyle x}$ через маркировку.

Фактор растяжения также равен минимальной константе Липшица гомотопической эквивалентности, переносящей маркировку, т.е.

${displaystyle Lambda _{R}(x,y)=min _{hin H(x,y)}Lip(h)}$

Где ${displaystyle H(x,y)}$ являются непрерывными функциями ${displaystyle h:x o y}$ так что для маркировки ${displaystyle f_{x}}$ на ${displaystyle x}$ маркировка ${displaystyle hcirc f_{x}}$ свободно гомотопен маркировке ${displaystyle f_{y}}$ на ${displaystyle y}$.

Индуцированная топология такая же, как и слабая топология, а группа изометрий - это ${displaystyle operatorname {Out} (F_{n})}$ как для симметричного, так и для асимметричного липшицева расстояния.^[8]

Приложения и обобщения

• Закрытие ${displaystyle {overline {cv}}_{n}}$ из ${displaystyle cv_{n}}$ как известно, топология функции длины состоит из (F_п-эквивариантных классов изометрии) всех очень маленький минимальные изометрические действия F_п на р-деревья.^[9] Здесь замыкание берется в пространстве всех минимальных изометрических «неприводимых» действий ${displaystyle F_{n}}$ на ${displaystyle mathbb {R} }$-деревья, рассматриваемые с точностью до эквивариантной изометрии. Известно, что топология Громова и топология осей на пространстве неприводимых действий совпадают,^[5] так что закрытие можно понимать в любом смысле. Проективизация ${displaystyle {overline {cv}}_{n}}$ относительно умножения на положительные скаляры дает пространство ${displaystyle {overline {CV}}_{n}}$ какой Компактификация функции длины из ${displaystyle CV_{n}}$ и из ${displaystyle X_{n}}$, аналогично компактификации Терстоном пространства Тейхмюллера.
• Разработаны аналоги и обобщения космического пространства для бесплатные продукты,^[10] за прямоугольные группы Артина,^[11] для так называемого деформационные пространства групповых действий^[6] и в некоторых других контекстах.
• Базовая версия космического пространства, называемая Космическое пространстводля отмеченных метрических графов с базовыми точками, был построен Хэтчером и Фогтманном в 1998 году.^[12] Космическое пространство ${displaystyle A_{n}}$ имеет много общих свойств с Космосом, но ${displaystyle A_{n}}$ приходит только с действием ${displaystyle Aut(F_{n})}$.

Смотрите также

• Геометрическая теория групп
• Группа классов сопоставления
• Карта пути поезда

Рекомендации

1. Каллер, Марк; Фогтманн, Карен (1986). «Модули графов и автоморфизмы свободных групп» (PDF). Inventiones Mathematicae. 84 (1): 91–119. Дои:10.1007 / BF01388734.
2. Cohen, Marshall M .; Люстиг, Мартин (1995). "Действия очень малых групп на р-деревья и твист-автоморфизмы Дена " (PDF). Топология. 34: 575–617. Дои:10.1016 / 0040-9383 (94) 00038-м.
3. Бествина, Младен; Файн, Марк (1994). «Внешние пределы» (PDF).^{[мертвая ссылка ]}
4. Гирадел, Винсент (2000). "Динамика ${displaystyle Out(F_{n})}$ на границе космического пространства ». Научные Анналы Высшей Нормальной Школы. 33 (4): 433–465. Дои:10.1016 / S0012-9593 (00) 00117-8.
5. Фредерик Полен, Топология Громова на р-деревья. Топология и ее приложения 32 (1989), нет. 3, 197–221.
6. Винсент Гирардел, Гилберт Левитт, Деформационные пространства деревьев. Группы, геометрия и динамика 1 (2007), нет. 2, 135–181.
7. Франковилья, Стефано; Мартино, Армандо (2011). «Метрические свойства космического пространства». Publicacions Matemàtiques. arXiv:0803.0640v2.
8. Франковилья, Стефано; Мартино, Армандо (2012). «Группа изометрии космического пространства». Успехи в математике. 231 (3–4): 1940–1973. arXiv:0912.0299. Дои:10.1016 / j.aim.2012.07.011.
9. Младен Бествина, Топология Из(F_п). Труды Международного конгресса математиков, Vol. II (Пекин, 2002), стр. 373-384, высшее изд. Press, Пекин, 2002; ISBN  7-04-008690-5.
10. Гирардел, Винсент; Левитт, Гилберт (2007). «Космическое пространство бесплатного продукта». Труды Лондонского математического общества. 94 (3): 695–714. arXiv:математика / 0501288. Дои:10.1112 / plms / pdl026.
11. Рут Чарни, Натаниэль Стамбо, Карен Фогтманн, Космическое пространство для раскрученных автоморфизмов прямоугольных групп Артина, arXiv: 1212.4791, препринт, 2012 г.
12. Аллен Хэтчер и Карен Фогтманн, Теория Серфа для графов. Журнал Лондонского математического общества 58 (1998), нет. 3, 633–655.

дальнейшее чтение

• Младен Бествина, Топология Out (F_п). Труды Международного конгресса математиков, Vol. II (Пекин, 2002), стр. 373–384, Пресса о высшем образовании, Пекин, 2002; ISBN  7-04-008690-5.
• Карен Фогтманн, О геометрии космического пространства. Бюллетень Американского математического общества 52 (2015), нет. 1, 27–46.
• Фогтманн, Карен (2008). "Что такое ... космическое пространство?" (PDF). Уведомления AMS. 55 (7): 784–786.