Аксонометрия) - Perspective (geometry)

Два перспективных треугольника с их осью перспективы и центром

Две фигуры в самолет находятся перспектива с точка О если линии, соединяющие соответствующие точки фигур, пересекаются в О. Вдвойне, цифры называются перспектива с линии если все точки пересечения соответствующих прямых лежат на одной прямой. Правильная настройка этой концепции находится в проективная геометрия где не будет особых случаев из-за параллельных линий, поскольку все линии пересекаются. Хотя здесь сказано для фигур на плоскости, эта концепция легко распространяется на более высокие измерения.

Терминология

Линия, проходящая через точки пересечения соответствующих сторон фигуры, известна как ось перспективности, ось перспективы, ось гомологии, или архаично, перспектива. Фигуры считаются перспективными с этой оси. Точка, в которой пересекаются линии, соединяющие соответствующие вершины перспективных фигур, называется точкой центр перспективы, перспективный центр, центр гомологии, столб, или архаично перспективный. Фигуры считаются перспективными из этого центра.^[1]

Перспективность

Если каждая из перспективных фигур состоит из всех точек на линии ( ассортимент ), то преобразование точек одного диапазона в другой называется центральная перспектива. Двойное преобразование, проводящее все прямые через точку (a карандаш ) к другому карандашу с помощью оси перспективности называется осевая перспектива.^[2]

Треугольники

Важный частный случай возникает, когда фигуры треугольники. Два треугольника, которые представляют собой перспективу из точки, называются центральная пара и два треугольника, которые представляют собой перспективу от линии, называются осевая пара.^[3]

Обозначение

Карл фон Штаудт ввел обозначения ${displaystyle ABCdoublebarwedge abc}$ чтобы указать, что треугольники ABC и abc перспективны.^[4]

Связанные теоремы и конфигурации

Теорема дезарга утверждает, что центральная пара треугольников является осевой. Обратное утверждение, что пара осевых треугольников является центральной, эквивалентно (любой из них может использоваться для доказательства другого). Теорема Дезарга может быть доказана в реальная проективная плоскость, и с соответствующими изменениями для особых случаев в Евклидова плоскость. Проективные плоскости в котором этот результат может быть доказан, называются Дезарговские самолеты.

С этими двумя видами перспективы связаны десять точек: шесть на двух треугольниках, три на оси перспективы и одна в центре перспективы. Вдвойне, есть также десять линий, связанных с двумя перспективными треугольниками: три стороны треугольников, три линии, проходящие через центр перспективы и ось перспективы. Эти десять точек и десять линий образуют образец Конфигурация дезарга.

Два треугольника с тройной перспективой BbY и CcX

Если два треугольника являются центральной парой по крайней мере двумя разными способами (с двумя разными ассоциациями соответствующих вершин и двумя разными центрами перспективы), то они перспективны с трех сторон. Это одна из эквивалентных форм Теорема Паппа (шестиугольник).^[5] Когда это происходит, девять связанных точек (шесть вершин треугольника и три центра) и девять связанных линий (по три через каждый центр перспективы) образуют экземпляр Конфигурация Pappus.

В Конфигурация Рейя образован четырьмя четырехугольными перспективными тетраэдрами аналогично конфигурации Паппа.

Смотрите также

Криволинейная перспектива

Примечания

^ Молодой 1930, п. 28
^ Молодой 1930, п. 29
^ Дембовский 1968, п. 26
^ Х. С. М. Коксетер (1942) Неевклидова геометрия, University of Toronto Press, переиздан в 1998 г. Математическая ассоциация Америки, ISBN 0-88385-522-4 . 21,2.
^ Кокстер 1969, п. 233 упражнение 2