Теорема Пикандса – Балкемы – де Хаана. - Pickands–Balkema–de Haan theorem - Wikipedia

В Теорема Пикандса – Балкемы – де Хаана. часто называют второй теоремой в теория экстремальных ценностей. Это дает асимптотику распределение хвоста из случайная переменная  Икс, когда истинное распределение F из Икс неизвестно. В отличие от первой теоремы ( Теорема Фишера – Типпета – Гнеденко. ) в теории экстремальных значений интерес здесь вызывают значения выше порога.

Функция распределения условного избытка

Если мы рассмотрим неизвестную функцию распределения случайной величины , нас интересует оценка функции условного распределения переменной выше определенного порога . Это так называемая функция условного избыточного распределения, определяемая как

за , куда является либо конечной, либо бесконечной правой конечной точкой основного распределения . Функция описывает распределение величины превышения над порогом , учитывая, что порог превышен.

Заявление

Позволять быть последовательностью независимые и одинаково распределенные случайные величины, и разреши - их функция распределения условного избытка. Пикандс (1975), Балкема и де Хаан (1974) предположили, что для большого класса основных функций распределения , и большой , хорошо аппроксимируется обобщенное распределение Парето. То есть:

куда

  • , если
  • , если

Здесь σ > 0 и у ≥ 0, когда k ≥ 0 и 0 ≤у ≤ −σ/k когда k <0. Поскольку частным случаем обобщенного распределения Парето является степенной закон, теорема Пикандса – Балкема – де Хаана иногда используется для обоснования использования степенного закона для моделирования экстремальных явлений. Тем не менее, многие важные распределения, такие как нормальные и логнормальные распределения, не имеют хвостов экстремальных значений, которые являются асимптотически степенными.

Частные случаи обобщенного распределения Парето

Связанные темы

Стабильное распространение

Рекомендации

  • Балкема, А., и де Хаан, Л. (1974). «Остаточное время жизни в преклонном возрасте», Анналы вероятности, 2, 792–804.
  • Пикандс, Дж. (1975). «Статистический вывод с использованием статистики экстремального порядка», Анналы статистики, 3, 119–131.