Личность Пиконе - Picone identity

В области обыкновенные дифференциальные уравнения, то Личность Пиконе, названный в честь Мауро Пиконе,^[1] классический результат о однородный линейные дифференциальные уравнения второго порядка. С момента своего создания в 1910 году он использовался с огромным успехом в сочетании с почти мгновенным доказательством того, что Теорема сравнения Штурма, теорема, доказательство которой заняло много страниц в оригинальных мемуарах Штурма 1836 года. Оно также полезно при изучении колебание таких уравнений и был обобщен на другие типы дифференциальные уравнения и разностные уравнения.

Личность Пиконе используется для доказательства Теорема сравнения Штурма – Пиконе.

Личность Пиконе

Предположим, что ты и v являются решениями двух однородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка в самосопряженная форма

${displaystyle (p_{1}(x)u')'+q_{1}(x)u=0}$

и

${displaystyle (p_{2}(x)v')'+q_{2}(x)v=0.}$

Тогда для всех Икс с v(Икс) ≠ 0 выполняется тождество

${displaystyle left({frac {u}{v}}(p_{1}u'v-p_{2}uv')ight)'=left(q_{2}-q_{1}ight)u^{2}+left(p_{1}-p_{2}ight)u'^{2}+p_{2}left(u'-v'{frac {u}{v}}ight)^{2}.}$

Доказательство

${displaystyle left({frac {u}{v}}(p_{1}u'v-p_{2}uv')ight)'=p_{1}u'^{2}-p_{2}{frac {u'}{v}}uv'-p_{1}{frac {uv'u'}{v}}+p_{2}{frac {u^{2}v'^{2}}{v^{2}}}+{frac {u}{v}}(p_{1}u')'v+p_{1}{frac {uu'v'}{v}}-{frac {u}{v}}(p_{2}v')'u-p_{2}{frac {uv'u'}{v}}=}$

${displaystyle =p_{1}u'^{2}-p_{2}u'^{2}+p_{2}u'^{2}-2p_{2}{frac {u}{v}}u'v'+p_{2}{frac {u^{2}}{v^{2}}}v'^{2}-{frac {u}{v}}(q_{1}u)v+{frac {u}{v}}(q_{2}v)u=left(p_{1}-p_{2}ight)u'^{2}+p_{2}left(u'-v'{frac {u}{v}}ight)^{2}+left(q_{2}-q_{1}ight)u^{2}}$

Примечания

• Пиконе, Мауро (1910). "Sui valori eccezionali di un Parameter da cui dipende un'equazione Differenziale lineare del secondo ordine". Анна. Scuola Norm. Как дела. Пиза. 11: 1–141.
• Суонсон, Чарльз А. (1975). «Личность Пиконе». Rendiconti di Matematica. 8 (2): 373–397.

Рекомендации

1. Пиконе 1910