Модель Plummer - Plummer model

В Модель Plummer или Пламмер сфера закон плотности, который впервые был использован Х. К. Пламмер соответствовать наблюдениям шаровые скопления.^[1] Сейчас он часто используется как игрушечная модель в Моделирование N-тела звездных систем.

Описание модели

Закон плотности модели Пламмера

Трехмерный профиль плотности Пламмера определяется выражением

${\displaystyle \rho _{P}(r)={\frac {3M_{0}}{4\pi a^{3}}}\left(1+{\frac {r^{2}}{a^{2}}}\right)^{-{\frac {5}{2}}},}$

где ${\displaystyle M_{0}}$ - полная масса скопления, а а это Пламмер радиус, параметр масштаба, задающий размер ядра кластера. Соответствующий потенциал равен

${\displaystyle \Phi _{P}(r)=-{\frac {GM_{0}}{\sqrt {r^{2}+a^{2}}}},}$

где г является Ньютон с гравитационная постоянная. Дисперсия скоростей равна

${\displaystyle \sigma _{P}^{2}(r)={\frac {GM_{0}}{6{\sqrt {r^{2}+a^{2}}}}}.}$

Функция распределения есть

${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {v}})={\frac {24{\sqrt {2}}}{7\pi ^{3}}}{\frac {Na^{2}}{G^{5}M_{0}^{5}}}(-E({\vec {x}},{\vec {v}}))^{7/2},}$

если ${\displaystyle E<0}$, и ${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {v}})=0}$ в противном случае, где ${\displaystyle E({\vec {x}},{\vec {v}})={\frac {1}{2}}v^{2}+\Phi _{P}(r)}$ это удельная энергия.

Свойства

Масса, заключенная в радиусе ${\displaystyle r}$ дан кем-то

${\displaystyle M(<r)=4\pi \int _{0}^{r}r'^{2}\rho _{P}(r')\,dr'=M_{0}{\frac {r^{3}}{(r^{2}+a^{2})^{3/2}}}.}$

Многие другие свойства модели Пламмера описаны в Хервиг Деджонге Исчерпывающая статья.^[2]

Радиус сердечника ${\displaystyle r_{c}}$, где поверхностная плотность падает до половины своего центрального значения, находится на ${\displaystyle r_{c}=a{\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}\approx 0.64a}$.

Радиус полумассы является ${\displaystyle r_{h}=\left({\frac {1}{0.5^{2/3}}}-1\right)^{-0.5}a\approx 1.3a.}$

Вириальный радиус является ${\displaystyle r_{V}={\frac {16}{3\pi }}a\approx 1.7a}$.

Плотность 2D поверхности составляет:

${\displaystyle \Sigma (R)=\int _{-\infty }^{\infty }\rho (r(z))dz=2\int _{0}^{\infty }{\frac {3a^{2}M_{0}dz}{4\pi (a^{2}+z^{2}+R^{2})^{5/2}}}={\frac {M_{0}a^{2}}{\pi (a^{2}+R^{2})^{2}}}}$,

и, следовательно, 2D проектируемый профиль массы:

${\displaystyle M(R)=2\pi \int _{0}^{R}\Sigma (R')\,R'dR'=M_{0}{\frac {R^{2}}{a^{2}+R^{2}}}}$.

В астрономии удобно определять двумерный радиус полумассы, который представляет собой радиус, в котором двумерный прогнозируемый профиль массы составляет половину общей массы: ${\displaystyle M(R_{1/2})=M_{0}/2}$.

Для профиля Plummer: ${\displaystyle R_{1/2}=a}$.

Радиальные точки поворота орбиты, характеризующиеся удельная энергия ${\displaystyle E={\frac {1}{2}}v^{2}+\Phi (r)}$ и удельный угловой момент ${\displaystyle L=|{\vec {r}}\times {\vec {v}}|}$ задаются положительными корнями кубическое уравнение

${\displaystyle R^{3}+{\frac {GM_{0}}{E}}R^{2}-\left({\frac {L^{2}}{2E}}+a^{2}\right)R-{\frac {GM_{0}a^{2}}{E}}=0,}$

где ${\displaystyle R={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}}$, так что ${\displaystyle r={\sqrt {R^{2}-a^{2}}}}$. Это уравнение имеет три действительных корня для ${\displaystyle R}$: два положительных и один отрицательный, учитывая, что ${\displaystyle L<L_{c}(E)}$, где ${\displaystyle L_{c}(E)}$ - удельный угловой момент для круговой орбиты при той же энергии. Вот ${\displaystyle L_{c}}$ можно вычислить из единственного действительного корня дискриминант кубического уравнения, который сам является другим кубическое уравнение

${\displaystyle {\underline {E}}\,{\underline {L}}_{c}^{3}+\left(6{\underline {E}}^{2}{\underline {a}}^{2}+{\frac {1}{2}}\right){\underline {L}}_{c}^{2}+\left(12{\underline {E}}^{3}{\underline {a}}^{4}+20{\underline {E}}{\underline {a}}^{2}\right){\underline {L}}_{c}+\left(8{\underline {E}}^{4}{\underline {a}}^{6}-16{\underline {E}}^{2}{\underline {a}}^{4}+8{\underline {a}}^{2}\right)=0,}$

где подчеркнутые параметры безразмерны в Единицы Henon определяется как ${\displaystyle {\underline {E}}=Er_{V}/(GM_{0})}$, ${\displaystyle {\underline {L}}_{c}=L_{c}/{\sqrt {GMr_{V}}}}$, и ${\displaystyle {\underline {a}}=a/r_{V}=3\pi /16}$.

Приложения

Модель Пламмера наиболее близка к представлению наблюдаемых профилей плотности звездные скопления^{[нужна цитата ]}, хотя быстрое падение плотности на больших радиусах (${\displaystyle \rho \rightarrow r^{-5}}$) не является хорошим описанием этих систем.

Поведение плотности вблизи центра не соответствует наблюдениям эллиптических галактик, которые обычно имеют расходящуюся центральную плотность.

Легкость, с которой сфера Пламмера может быть реализована как Модель Монте-Карло сделал его любимым выбором Экспериментаторы N-тела, несмотря на нереалистичность модели.^[3]

использованная литература

1. Пламмер, Х.С. (1911), К проблеме распределения в шаровых звездных скоплениях, Пн. Не. R. Astron. Soc. 71, 460.
2. Деджонге, Х. (1987), Полностью аналитическое семейство анизотропных моделей Пламмера. Пн. Не. R. Astron. Soc. 224, 13.
3. Aarseth, S.J., Henon, M. и Wielen, R. (1974), Сравнение численных методов исследования динамики звездных скоплений. Астрономия и астрофизика 37 183.