Полярное множество (теория потенциала) - Polar set (potential theory)

В математика, в области классической теория потенциала, полярные наборы являются «пренебрежимо малыми множествами», подобно тому, как множества нулевой меры являются незначительные наборы в теория меры.

Определение

Множество ${displaystyle Z}$ в ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ (куда ${displaystyle ngeq 2}$ ) является полярным множеством, если существует непостоянная субгармоническая функция

{displaystyle u}

на

{displaystyle mathbb {R} ^ {n}}

такой, что

{displaystyle Zsubseteq {x: u (x) = - infty}.}

Обратите внимание, что существуют другие (эквивалентные) способы определения полярных множеств, например, путем замены «субгармоники» на «супергармонические», и ${displaystyle -infty}$ к ${displaystyle infty}$ в определении выше.

Характеристики

Важнейшие свойства полярных наборов:

Синглтон установлен в ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ полярный.
Счетный набор в ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ полярный.
Объединение счетного набора полярных множеств полярно.
Полярное множество имеет нулевую меру Лебега в ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}.}$

Почти везде

Собственность держит почти везде в комплекте S если он держится S−E куда E является борелевским полярным множеством. Если п держится почти везде, потом держится почти всюду.^[1]

Смотрите также

Плюриполярный набор

внешняя ссылка

«Полярный набор». PlanetMath.

[Ran56-1] Рэнсфорд (1995) стр. 56

[1]