Политомическая модель Раша - Polytomous Rasch model

В политомная модель Раша является обобщением дихотомический Модель раша. Это измерение модель, которая имеет потенциальное применение в любом контексте, в котором целью является измерение черты или способности посредством процесса, в котором ответы на вопросы забил с последовательным целые числа. Например, модель применима к использованию Весы Лайкерта, шкалы оценок а также к учебным заданиям, по которым последовательно более высокие целые баллы предназначены для обозначения возрастающих уровней компетентности или достижений.

Предпосылки и обзор

В политомная модель Раша был получен Андрич (1978), после выводов Раш (1961) и Андерсен (1977), путем разделения соответствующих терминов общей формы модели Раша на порог и дискриминация параметры. При создании модели Андрич сосредоточился на использовании шкал Лайкерта в психометрия, как в иллюстративных целях, так и для помощи в интерпретации модели.

Модель иногда называют Модель шкалы оценок когда (i) элементы имеют одинаковое количество пороговых значений и (ii) в свою очередь, разница между любым заданным пороговым местоположением и средним значением пороговых местоположений одинакова или одинакова для элементов. Это, однако, потенциально вводящее в заблуждение название модели, поскольку оно имеет гораздо более общее применение, чем так называемые рейтинговые шкалы. Модель также иногда называют Модель частичного кредита, особенно при применении в образовательных контекстах. Модель частичного кредита (Masters, 1982) имеет идентичную алгебраическую форму, но была получена из другой отправной точки в более позднее время и интерпретируется несколько иначе. Модель частичного кредита также допускает разные пороговые значения для разных статей. Хотя это название модели часто используется, Андрич (2005) предоставляет подробный анализ проблем, связанных с элементами подхода Мастерс, которые конкретно относятся к типу процесса реагирования, совместимому с моделью, и к эмпирическим ситуациям, в которых оценки пороговых местоположений неупорядочены. Эти вопросы обсуждаются при разработке следующей модели.

Модель общая вероятностный модель измерения, которая обеспечивает теоретическую основу для использования последовательных целочисленных оценок таким образом, чтобы сохранить отличительное свойство, которое определяет модели Раша: в частности, общие исходные оценки достаточная статистика для параметры моделей. См. Основную статью для Модель раша для проработки этого свойства. Модель не только сохраняет это свойство, но и позволяет эмпирический испытание гипотеза что категории ответов представляют возрастающие уровни скрытых атрибутов или черт, следовательно, упорядочены. Причина, по которой модель обеспечивает основу для проверки этой гипотезы, заключается в том, что эмпирически возможно, что пороговые значения не будут отображать предполагаемый порядок.

В этой более общей форме Модель раша для дихотомических данных счет на конкретном предмете определяется как количество пороговых местоположений скрытой черты, которые преодолевает человек. Это не означает, что процесс измерения влечет за собой такой подсчет в буквальном смысле; скорее, пороговые местоположения на скрытом континуум обычно предполагаемый из матрицы данных ответа через процесс оценки, такой как Условный Максимальная вероятность оценка. В общем, центральная черта процесса измерения состоит в том, что люди классифицированный в одну из набора смежных или смежных упорядоченных категорий. Формат ответа, используемый в данном экспериментальном контексте, может достичь этого несколькими способами. Например, респонденты могут выбрать категорию, которая, по их мнению, лучше всего отражает их уровень поддержки утверждения (например, `` полностью согласен ''), судьи могут классифицировать людей по категориям на основе четко определенных критериев, или человек может классифицировать физический стимул на основе на воспринимаемое сходство с набором эталонных стимулов.

Политомическая модель Раша специализируется на модели дихотомических данных, когда ответы можно разделить только на две категории. В этом особом случае сложность предмета и (единичный) порог идентичны. Концепция порога подробно описана в следующем разделе.

Политомическая модель Раша

Во-первых, пусть

${\displaystyle X_{ni}=x\in \{0,1,\dots ,m_{i}\}\,}$

быть целым числом случайная переменная куда ${\displaystyle m_{i}}$ это максимальная оценка за предмет я. То есть переменная ${\displaystyle X_{ni}}$ - случайная величина, которая может принимать целочисленные значения от 0 до максимум ${\displaystyle m_{i}}$.

В политомической модели Раша (Andrich, 1978) вероятность исхода ${\displaystyle X_{ni}=x}$ является

${\displaystyle \Pr\{X_{ni}=x,x>0\}={\frac {\exp {{\sum _{k=1}^{x}(\beta _{n}}-{\tau _{ki}})}}{1+\sum _{j=1}^{m_{i}}\exp {{\sum _{k=1}^{j}(\beta _{n}}-{\tau _{ki}})}}};}$

${\displaystyle \Pr\{X_{ni}=0\}={\frac {1}{1+\sum _{j=1}^{m_{i}}\exp {{\sum _{k=1}^{j}(\beta _{n}}-{\tau _{ki}})}}}}$

куда ${\displaystyle \tau _{ki}}$ это kое пороговое местоположение предмета я на скрытом континууме, ${\displaystyle \beta _{n}}$ это местонахождение человека п на том же континууме, и ${\displaystyle m_{i}}$ это максимальная оценка за предмет я. Эти уравнения такие же, как

${\displaystyle \Pr\{X_{ni}=x\}={\frac {\exp {{\sum _{k=0}^{x}(\beta _{n}}-{\tau _{ki}})}}{\sum _{j=0}^{m_{i}}\exp {{\sum _{k=0}^{j}(\beta _{n}}-{\tau _{ki}})}}}}$

где значение ${\displaystyle \tau _{0i}}$ выбрано для удобства вычислений, то есть: ${\displaystyle \sum _{k=0}^{m_{i}}(\beta _{n}-\tau _{ki})\equiv 0}$.

Модель рейтинговой шкалы

Аналогичным образом, модель «рейтинговой шкалы» Раша (Андрич, 1978)

${\displaystyle \Pr\{X_{ni}=x\}={\frac {\exp {{\sum _{k=0}^{x}(\beta _{n}}-({\delta _{i}-\tau _{k}}))}}{\sum _{j=0}^{m}\exp {{\sum _{k=0}^{j}(\beta _{n}}-{(\delta _{i}-\tau _{k}}))}}}}$

куда ${\displaystyle \delta _{i}}$ сложность предмета я и ${\displaystyle \tau _{k}}$ это kое пороговое расположение шкалы оценок, общей для всех пунктов. м является максимальным баллом и одинаков для всех пунктов. ${\displaystyle \tau _{0}}$ выбрано для удобства вычислений.

Заявление

Применяемая в данном эмпирическом контексте, модель может рассматриваться как математическая гипотеза о том, что вероятность данного результата является вероятностной функцией этих параметров человека и предмета. График, показывающий взаимосвязь между вероятностью данной категории как функцией местоположения человека, называется Кривая вероятности категории (CPC). Пример цен за клик для товара с пятью категориями, оцененными от 0 до 4, показан на рисунке 1.

Рисунок 1: Кривые вероятности категорий Раша для элемента с пятью упорядоченными категориями

Заданный порог ${\displaystyle \tau _{ki}}$ разделяет континуум на области выше и ниже его местоположения. Пороговое значение соответствует местоположению в скрытом континууме, при котором человек с равной вероятностью будет отнесен к смежным категориям и, следовательно, получит один из двух последовательных баллов. Первый порог предмета я, ${\displaystyle \tau _{1i}}$, - это место в континууме, в котором человек с равной вероятностью получит оценку 0 или 1, второй порог - это место, в котором человек с равной вероятностью получит оценку 1 и 2, и так далее. В примере, показанном на рисунке 1, пороговые значения равны -1,5, -0,5, 0,5 и 1,5 соответственно.

Респонденты могут получать баллы разными способами. Например, если используются форматы ответов Лайкерта, Совершенно не согласен может быть присвоено 0, Не согласен а 1, Согласны а 2 и Полностью согласен a 3. В контексте оценки в образовательная психология, могут быть присвоены последовательно более высокие целые баллы в соответствии с явными критериями или описаниями, которые характеризуют возрастающие уровни достижений в определенной области, например, понимание прочитанного. Общая и центральная особенность заключается в том, что в результате некоторого процесса каждый человек должен быть отнесен к одной из упорядоченных категорий, которые вместе составляют элемент оценки.

Доработка модели

Разрабатывая особенности модели, Андрич (2005) поясняет, что ее структура влечет за собой одновременный процесс классификации, что приводит к единственному манифест ответ, и включает в себя серию дихотомических скрытых ответов. Кроме того, латентные дихотомические ответы действуют в рамках структуры Гуттмана и связанного с ней пространства ответов, как описано ниже.

Позволять

${\displaystyle Y_{nk}=y\in \{0,1\},k\in \{0,1,\dots ,m\}\,}$

- набор независимых дихотомических случайных величин. Андрич (1978, 2005) показывает, что политомическая модель Раша требует, чтобы эти дихотомические ответы соответствовали латентному подпространству ответов Гуттмана:

${\displaystyle \Omega '\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \{1,\dots ,1,0,\dots ,0\}}$

в котором Икс за ними следуют м-х нули. Например, в случае двух пороговых значений допустимые шаблоны в этом подпространстве ответа следующие:

${\displaystyle 0,0\Leftrightarrow 0}$

${\displaystyle 1,0\Leftrightarrow 1}$

${\displaystyle 1,1\Leftrightarrow 2}$

где целое число Икс подразумевается каждым шаблоном (и наоборот), как показано. Причина, по которой это подпространство подразумевается моделью, заключается в следующем. Позволять

${\displaystyle P_{nxi}={\frac {\exp({\beta _{n}}-{\tau _{ki}})}{1+\exp({\beta _{n}}-{\tau _{ki}})}},\ k=x,\,}$

быть вероятностью того, что ${\displaystyle Y_{nki}=1}$ и разреши ${\displaystyle Q_{nxi}=1-P_{nxi}}$. Эта функция имеет структуру Модель раша для дихотомических данных. Затем рассмотрим следующую условную вероятность в случае двух пороговых значений:

${\displaystyle {\frac {P_{n1}Q_{n2}}{Q_{n1}Q_{n2}+P_{n1}Q_{n2}+P_{n1}P_{n2}}}.}$

Можно показать, что эта условная вероятность равна

${\displaystyle {\frac {\exp {{\sum _{k=1}^{1}(\beta _{n}}-{\tau _{k}})}}{1+\sum _{j=1}^{2}\exp {{\sum _{k=1}^{j}(\beta _{n}}-{\tau _{k}})}}}}$

что, в свою очередь, является вероятностью ${\displaystyle Pr\{X_{ni}=1\}}$ заданные политомической моделью Раша. Из знаменателя этих уравнений видно, что вероятность в этом примере зависит от характера реакции ${\displaystyle \{0,0\},\{1,0\},}$ или же ${\displaystyle \{1,1\}}$. Следовательно, очевидно, что в общем случае подпространство отклика ${\displaystyle \Omega '}$, как определено ранее, внутренний структуре политомической модели Раша. Это ограничение на подпространство необходимо для обоснования целочисленной оценки ответов: т.е. для того, чтобы оценка была просто подсчетом упорядоченных превышенных пороговых значений. Андрич (1978) показал, что равная дискриминация на каждом из порогов также необходима для этого оправдания.

В политомической модели Раша оценка Икс по данному пункту означает, что человек одновременно превзошел Икс пороговые значения ниже определенной области континуума и не смогли превзойти оставшиеся м − Икс пороги выше этого региона. Для того, чтобы это было возможно, пороговые значения должны располагаться в их естественном порядке, как показано в примере на рисунке 1. Неупорядоченные оценки порогов указывают на невозможность построения контекста оценки, в котором классификации, представленные последовательными оценками, отражают возрастающие уровни скрытых черта. Например, рассмотрим ситуацию, в которой есть два порога, и в которой оценка второго порога ниже на континууме, чем оценка первого порога. Если понимать местоположения буквально, отнесение человека к категории 1 подразумевает, что местоположение человека одновременно превышает второй порог, но не превышает первый порог. В свою очередь, это подразумевает шаблон ответа {0,1}, шаблон, который не принадлежит подпространству шаблонов, внутренне присущих структуре модели, как описано выше.

Поэтому, когда оценки порогов неупорядочены, их нельзя воспринимать буквально; скорее, беспорядок сам по себе по своей сути указывает на то, что классификации не удовлетворяют критериям, которые должны логически соблюдаться, чтобы оправдать использование последовательных целочисленных оценок в качестве основы для измерения. Чтобы подчеркнуть этот момент, Андрич (2005) использует пример, в котором присуждаются оценки «не прошел», «прошел успешно», «зачетные единицы» и «Отличие». Эти степени или классификации обычно предназначены для представления повышение уровней достижения. Рассмотрим человека A, чье положение в латентном континууме находится на пороге между регионами континуума, при котором с наибольшей вероятностью будет присужден проход и зачет. Рассмотрим также другого человека B, чье местоположение находится на пороге между регионами, в которых с наибольшей вероятностью будет присуждена оценка и награда. В примере, рассмотренном Андричем (2005, с. 25), неупорядоченные пороги, если понимать их буквально, означают, что местоположение человека A (на проходном / зачетном пороге) выше, чем у человека B (при заслуге / отличии). порог). То есть, если понимать буквально, неупорядоченные местоположения пороговых значений будут означать, что человеку необходимо будет продемонстрировать более высокий уровень достижений для достижения порогового значения прохождения / зачета, чем необходимо для достижения порога зачетности / отличия. Ясно, что это не соответствует цели такой системы оценок. Таким образом, неупорядоченность пороговых значений указывает на то, что способ выставления оценок не соответствует цели системы оценок. То есть беспорядок указывает на то, что гипотеза, заложенная в системе оценок, - что оценки представляют собой упорядоченные классификации повышения успеваемости - не подтверждается структурой эмпирических данных.

Рекомендации

• Андерсен, Э. (1977). Достаточная статистика и модели скрытых черт, Психометрика, 42, 69–81.
• Андрич, Д. (1978). Формулировка рейтинга для упорядоченных категорий ответов. Психометрика, 43, 561–73.
• Андрич, Д. (2005). Объяснение модели Раша. В Sivakumar Alagumalai, David D Durtis и Njora Hungi (ред.) Прикладное измерение Раша: книга образцов. Springer-Kluwer. Глава 3, 308–328.
• Мастерс, Г. (1982). Модель Раша для частичного кредитного скоринга. Психометрика, 47, 149–174.
• Раш, Г. (1960/1980). Вероятностные модели для некоторых тестов интеллекта и достижений. (Копенгаген, Датский институт исследований в области образования), расширенное издание (1980 г.) с предисловием и послесловием Б.Д. Райт. Чикаго: Издательство Чикагского университета.
• Райт, Б.Д. И Мастерс, Г. (1982). Анализ шкалы рейтинга. Чикаго: MESA Press. (Доступно в Институте объективных измерений.)

внешняя ссылка

• Неупорядоченные пороги и информация о предметах
• Категория беспорядок и пороговое расстройство
• Андрич о неупорядоченных порогах и ступенях
• Каталог программного обеспечения Rasch - платное и бесплатное ПО
• Институт объективных измерений
• Анализ Раша
• Модель Раша в Stata