Картофельный парадокс - Potato paradox - Wikipedia

Для экономического эффекта иногда называют картофельный эффект или же картофельный парадокс, видеть Гиффен хорошо.

Белый картофель на 79% состоит из воды,^[1] агар на 99% состоит из воды.^[2]

В картофельный парадокс представляет собой математический расчет, который дает противоречивый результат. Универсальная книга математики заявляет о проблеме как таковой:

Фред приносит домой 100 кг картофеля, который (будучи чисто математическим картофелем) на 99% состоит из воды. Затем он оставляет их на ночь на улице, чтобы они на 98% состояли из воды. Какой у них новый вес? Удивительный ответ - 50 кг.^[3]

В Классификация парадоксов Куайна, картофельный парадокс - это достоверный парадокс.

Простые объяснения

Способ 1

Одно из объяснений начинается с того, что изначально вес без воды составляет 1 кг, что составляет 1% от 100 кг. Затем спрашивают: 1 кг - это 2% от того, сколько кг? Чтобы этот процент был вдвое больше, общий вес должен быть вдвое меньше.

Способ 2

Визуализация, где синие прямоугольники представляют килограммы воды, а оранжевые квадраты - килограммы твердого картофельного вещества. Слева до обезвоживания: 1 кг вещества, 99 кг воды (99% воды). Середина: 1 кг вещества, 49 кг воды (98% воды).

В начале (левый рисунок) 1 часть не воды и 99 частей воды. Это 99% воды, или соотношение без воды к воде 1:99. Чтобы удвоить соотношение безводной воды к воде до 1:49, сохраняя при этом одну часть безводной, количество воды необходимо уменьшить до 49 частей (средний рисунок). Это эквивалентно 2 части безводного продукта на 98 частей воды (98% воды) (правый рисунок).

В 100 кг картофеля 99% воды (по весу) означает, что содержится 99 кг воды и 1 кг твердых веществ. Это соотношение 1:99.

Если процентное содержание уменьшается до 98%, то теперь на долю твердых веществ должно приходиться 2% веса: соотношение 2:98 или 1:49. Поскольку твердые частицы все еще весят 1 кг, вода должна весить 49 кг, чтобы получить в сумме 50 кг.

Объяснения с использованием алгебры

Способ 1

После испарения воды оставшееся общее количество, ${\displaystyle x}$, содержит 1 кг чистого картофеля и (98/100) x воды. Уравнение становится:

${\displaystyle {\begin{aligned}1+{\frac {98}{100}}x&=x\\\Longrightarrow 1&={\frac {1}{50}}x\end{aligned}}}$

в результате чего ${\displaystyle x}$ = 50 кг.

Способ 2

Вес воды в свежем картофеле ${\displaystyle 0.99\cdot 100}$.

Если ${\displaystyle x}$ это вес воды, потерянной картофелем при обезвоживании ${\displaystyle 0.98(100-x)}$ - вес воды в обезвоженном картофеле. Следовательно:

${\displaystyle 0.99\cdot 100-0.98(100-x)=x}$

Раскрывающие скобки и упрощение

${\displaystyle {\begin{aligned}99-(98-0.98x)&=x\\99-98+0.98x&=x\\1+0.98x&=x\end{aligned}}}$

Вычитая меньшее ${\displaystyle x}$ срок с каждой стороны

${\displaystyle {\begin{aligned}1+0.98x-0.98x&=x-0.98x\\1&=0.02x\end{aligned}}}$

Что дает потерянную воду как:

${\displaystyle 50=x}$

И сухой вес картофеля как:

${\displaystyle 100-x=100-50=50}$

Способ 3

После обезвоживания картофель на 98% состоит из воды.

Это означает, что процентное содержание безводного веса картофеля составляет ${\displaystyle (1-.98)}$.

Если x - вес картофеля после обезвоживания, то:

${\displaystyle {\begin{aligned}(1-.98)x&=1\\.02x&=1\\x&={\frac {1}{.02}}\\x&=50\end{aligned}}}$

Последствия

Ответ тот же, если удвоить концентрацию неводной части. Например, если изначально картофель на 99,999% состоял из воды, уменьшение процента до 99,998% все равно потребует уменьшения веса вдвое.

Языковой парадокс

Из первоначального запроса мы представляем, что уменьшаем вес на 1%. Это не тот случай. Если бы это было так, мы были бы правы, если бы у нас было 99 кг картофеля (99,01 кг, если уменьшить 1% от 99 кг воды; 99 кг, если уменьшить общий вес на 1%, удалив 1 кг воды - как его формулировка имеет значение!). Но уменьшение количества воды до 98% от всего нового веса картофеля означает, что мы удаляем половину (на самом деле чуть больше половины - 50/99) воды, так что сухие вещества картофеля составляют 2% от общего веса. масса. Таким образом, парадокс заключается не в математике, а в нашем понимании языка, используемого для определения вопроса. Необходимо использовать осторожные формулировки, чтобы убедиться, что "парадокс" верен.

Рекомендации

1. "Содержание воды в фруктах и ​​овощах, Кооперативная служба распространения знаний, Университет Кентукки " (PDF). Получено 11 января 2016.
2. "Способы производства агара - пищевой агар, Продовольственная и сельскохозяйственная организация ООН ". Получено 11 января 2016.
3. "картофельный парадокс". Энциклопедия науки. Архивировано из оригинал 2 февраля 2014 г.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Картофельный парадокс». MathWorld.