Возможное обтекание кругового цилиндра - Potential flow around a circular cylinder

В математика, потенциальное обтекание кругового цилиндра является классическим решением для течь из невязкий, несжимаемый жидкость вокруг цилиндра, перпендикулярного потоку. Вдали от цилиндра поток однонаправленный и равномерный. У потока нет завихренность и таким образом поле скорости является безвихревый и может быть смоделирована как потенциальный поток. В отличие от реальной жидкости, это решение показывает чистый ноль тянуть на теле, результат известен как парадокс даламбера.

Математическое решение^[1]

Цвета: поле давления. Красный высокий и синий низкий. Векторы скорости.

Крупный план одного квадранта потока. Цвета: поле давления. Красный высокий и синий низкий. Векторы скорости.

Поле давления (цвета), функция потока (черный) с интервалом изолиний 0.2Ура снизу вверх, потенциал скорости (белый) с контурным интервалом 0.2Ура слева направо.

Цилиндр (или диск) радиус р помещается в двухмерный несжимаемый невязкий поток. Цель - найти вектор установившейся скорости V и давление п в плоскости при условии, что вдали от цилиндра вектор скорости (относительно единичные векторы я и j) является

${\displaystyle \mathbf {V} =U\mathbf {i} +0\mathbf {j} \,,}$

где U - постоянная, а на границе цилиндра

${\displaystyle \mathbf {V} \cdot \mathbf {\hat {n}} =0\,,}$

где n это вектор нормаль к поверхности цилиндра. Восходящий поток однороден и не имеет завихренности. Поток невязкий, несжимаемый и имеет постоянную массу. плотность ρ. Таким образом, течение остается без завихренности, или его называют безвихревый, с участием ∇ × V = 0 везде. Будучи безвихревым, должен существовать потенциал скорости φ:

${\displaystyle \mathbf {V} =\nabla \phi \,.}$

Будучи несжимаемым, ∇ · V = 0, так φ должен удовлетворить Уравнение Лапласа:

${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =0\,.}$

Решение для φ легче всего получается в полярные координаты р и θ, относящиеся к обычным Декартовы координаты от Икс = р потому что θ и у = р грех θ. В полярных координатах уравнение Лапласа имеет вид (см. Del в цилиндрических и сферических координатах ):

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial \phi }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \theta ^{2}}}=0\,.}$

Решение, удовлетворяющее граничные условия является^[2]

${\displaystyle \phi (r,\theta )=Ur\left(1+{\frac {R^{2}}{r^{2}}}\right)\cos \theta \,.}$

Компоненты скорости в полярных координатах получаются из компонент ∇φ в полярных координатах:

${\displaystyle V_{r}={\frac {\partial \phi }{\partial r}}=U\left(1-{\frac {R^{2}}{r^{2}}}\right)\cos \theta }$

и

${\displaystyle V_{\theta }={\frac {1}{r}}{\frac {\partial \phi }{\partial \theta }}=-U\left(1+{\frac {R^{2}}{r^{2}}}\right)\sin \theta \,.}$

Невязкое и безвихревое уравнение Бернулли позволяет получить решение для поля давления непосредственно из поля скорости:

${\displaystyle p={\tfrac {1}{2}}\rho \left(U^{2}-V^{2}\right)+p_{\infty },}$

где константы U и п_∞ появляются так, что п → п_∞ далеко от цилиндра, где V = U. С помощью V² = V²
_р + V²
_θ,

${\displaystyle p={\tfrac {1}{2}}\rho U^{2}\left(2{\frac {R^{2}}{r^{2}}}\cos(2\theta )-{\frac {R^{4}}{r^{4}}}\right)+p_{\infty }\,.}$

На рисунках раскрашенное поле, называемое «давление», представляет собой график

${\displaystyle 2{\frac {p-p_{\infty }}{\rho U^{2}}}=2{\frac {R^{2}}{r^{2}}}\cos(2\theta )-{\frac {R^{4}}{r^{4}\,}}.}$

На поверхности цилиндра или р = р, давление изменяется от максимального значения 1 (показано на диаграмме в красный) в точках застоя при θ = 0 и θ = π до минимума −3 (показано на синий) по бокам цилиндра, при θ = π/2 и θ = 3π/2. Точно так же V варьируется от V = 0 при застое указывает на V = 2U по бокам, при низком давлении.

Функция потока

Поскольку поток несжимаем, a функция потока можно найти так, что

${\displaystyle \mathbf {V} =\nabla \psi \times \mathbf {k} \,.}$

Из этого определения следует, используя векторные тождества,

${\displaystyle \mathbf {V} \cdot \nabla {\psi }=0\,.}$

Следовательно, контур постоянного значения ψ также будет линией тока, касательной к V. Для обтекания цилиндра находим:

${\displaystyle \psi =U\left(r-{\frac {R^{2}}{r}}\right)\sin \theta \,.}$

Физическая интерпретация

Уравнение Лапласа является линейным и является одним из самых элементарных уравнения в частных производных. Это простое уравнение дает полное решение как для V и п из-за ограничения безвихревости и несжимаемости. Получив решение для V и пможно отметить согласованность градиента давления с ускорениями.

В динамическое давление в точке застоя вверх по течению имеет значение 1/2ρU². значение, необходимое для замедления набегающего потока скорости U. Это же значение появляется в точке остановки ниже по потоку, это высокое давление снова необходимо для замедления потока до нулевой скорости. Эта симметрия возникает только потому, что поток полностью лишен трения.

Низкое давление по бокам цилиндра необходимо для обеспечения центростремительное ускорение потока:

${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial r}}={\frac {\rho V^{2}}{L}}\,,}$

где L - радиус кривизны потока.^{[нужна цитата ]} Но L ≈ р, и V ≈ U. Интеграл уравнения центростремительного ускорения, которое будет на расстоянии Δр ≈ р таким образом даст

${\displaystyle p-p_{\infty }\approx -\rho U^{2}\,.}$

Точное решение для самого низкого давления имеет

${\displaystyle p-p_{\infty }=-{\tfrac {3}{2}}\rho U^{2}\,.}$

Низкое давление, которое должно присутствовать для обеспечения центростремительного ускорения, также увеличивает скорость потока по мере того, как жидкость перемещается от более высоких значений давления к более низким. Таким образом, мы находим максимальную скорость потока, V = 2U, при низком давлении по бокам цилиндра.

Ценность V > U согласуется с сохранением объема жидкости. Поскольку цилиндр блокирует часть потока, V должно быть больше чем U где-то в плоскости, проходящей через центр цилиндра и поперек потока.

Сравнение с потоком реальной жидкости мимо цилиндра

Симметрия этого идеального решения имеет точку застоя на задней стороне цилиндра, а также на передней стороне. Распределение давления по передней и задней сторонам одинаково, что приводит к особому свойству нулевого тянуть на цилиндре свойство, известное как парадокс даламбера. В отличие от идеальной невязкой жидкости, вязкое течение мимо цилиндра, независимо от того, насколько мала вязкость, приобретет тонкий пограничный слой прилегает к поверхности цилиндра. Разделение пограничного слоя произойдет, и конечный просыпаться будет существовать в потоке за цилиндром. Давление в каждой точке на стороне спутного следа цилиндра будет ниже, чем на стороне входа по потоку, что приведет к возникновению силы сопротивления в направлении выхода.

Разложение Янцена – Рэлея

Проблема потенциального сжимаемого обтекания кругового цилиндра была впервые изучена О. Янзеном в 1913 г.^[3] и по Лорд Рэйли в 1916 г.^[4] с небольшими сжимаемыми эффектами. Здесь малый параметр представляет собой квадрат число Маха ${\displaystyle \mathrm {M} ^{2}=U^{2}/c^{2}\ll 1}$, где c это скорость звука. Тогда решение первого приближения по потенциалу скорости имеет вид

${\displaystyle \phi (r,\theta )=Ur\left(1+{\frac {a^{2}}{r^{2}}}\right)\cos \theta -\mathrm {M} ^{2}{\frac {Ur}{12}}\left[\left({\frac {13a^{2}}{r^{2}}}-{\frac {6a^{4}}{r^{4}}}+{\frac {a^{6}}{r^{6}}}\right)\cos \theta +\left({\frac {a^{4}}{r^{4}}}-{\frac {3a^{2}}{r^{2}}}\right)\cos 3\theta \right]+\mathrm {O} \left(\mathrm {M} ^{4}\right)\,}$

где ${\displaystyle a}$ - радиус цилиндра.

Возможное обтекание кругового цилиндра с небольшими отклонениями

Регулярный анализ возмущений для обтекания цилиндра с небольшими возмущениями в конфигурациях можно найти в Милтон Ван Дайк (1975).^[5] В следующих, ε будет представлять собой небольшой положительный параметр и а - радиус цилиндра. Для более подробного анализа и обсуждения читателей отсылаем к Милтон Ван Дайк книга 1975 года Методы возмущений в механике жидкости.^[5]

Слегка деформированный цилиндр

Здесь радиус цилиндра не равен р = а, но слегка искаженная форма р = а(1 − ε грех² θ). Тогда решение первого приближения есть

${\displaystyle \psi (r,\theta )=Ur\left(1-{\frac {a^{2}}{r^{2}}}\right)\sin \theta +\varepsilon {\frac {Ur}{2}}\left({\frac {3a^{2}}{r^{2}}}\sin \theta -{\frac {a^{4}}{r^{4}}}\sin 3\theta \right)+\mathrm {O} \left(\varepsilon ^{2}\right)}$

Слегка пульсирующий круг

Здесь радиус цилиндра немного меняется со временем, поэтому р = а(1 + ε ж(т)). Тогда решение первого приближения есть

${\displaystyle \psi (r,\theta ,t)=Ur\left(1-{\frac {a^{2}}{r^{2}}}\right)\sin \theta +\varepsilon Ur\left({\frac {a^{2}}{Ur}}\theta f'(t)-{\frac {2a^{2}}{r^{2}}}f(t)\sin \theta \right)+\mathrm {O} \left(\varepsilon ^{2}\right)}$

Течение с небольшой завихренностью

В общем, скорость набегающего потока U единообразно, другими словами ψ = Уй, но здесь во внешнем потоке налагается небольшая завихренность.

Линейный сдвиг

Здесь вводится линейный сдвиг скорости.

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi &=U\left(y+{\tfrac {1}{2}}\varepsilon {\frac {y^{2}}{a}}\right)\,,\\\omega &=-\nabla ^{2}\psi =-\varepsilon {\frac {U}{a}}\quad {\text{as }}x\rightarrow -\infty \,,\end{aligned}}}$

где ε - малый параметр. Основное уравнение

${\displaystyle \nabla ^{2}\psi =-\omega (\psi )\,.}$

Тогда решение первого приближения есть

${\displaystyle \psi (r,\theta )=Ur\left(1-{\frac {a^{2}}{r^{2}}}\right)\sin \theta +\varepsilon {\frac {Ur}{4}}\left({\frac {r}{a}}(1-\cos 2\theta )+{\frac {a^{3}}{r^{3}}}\cos 2\theta -{\frac {a}{r}}\right)+\mathrm {O} \left(\varepsilon ^{2}\right)\,.}$

Параболический сдвиг

Здесь вводится параболический сдвиг внешней скорости.

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi &=U\left(y+{\tfrac {1}{6}}\varepsilon {\frac {y^{3}}{a^{2}}}\right)\,,\\\omega &=-\nabla ^{2}\psi =-\varepsilon U{\frac {y}{a^{2}}}\quad {\text{as }}x\rightarrow -\infty \,.\end{aligned}}}$

Тогда решение первого приближения есть

${\displaystyle \psi (r,\theta )=Ur\left(1-{\frac {a^{2}}{r^{2}}}\right)\sin \theta +\varepsilon {\frac {Ur}{6}}\left({\frac {r^{2}}{a^{2}}}\sin ^{2}\theta -3r\ln r\sin \theta +\chi \right)+\mathrm {O} \left(\varepsilon ^{2}\right)\,,}$

где χ - однородное решение уравнения Лапласа, восстанавливающее граничные условия.

Слегка пористый цилиндр

Позволять C_пс представляют собой коэффициент поверхностного давления для непроницаемого цилиндра:

${\displaystyle C_{\mathrm {ps} }={\frac {p_{s}-p_{\infty }}{{\tfrac {1}{2}}\rho U^{2}}}=1-4\sin ^{2}\theta =2\cos 2\theta -1\,,}$

где п_s - давление на поверхность непроницаемого цилиндра. Теперь позвольте C_Пи - коэффициент внутреннего давления внутри цилиндра, тогда небольшая нормальная скорость из-за небольшой пористости определяется выражением

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}=\varepsilon U\left(C_{\mathrm {pi} }-C_{\mathrm {ps} }\right)=\varepsilon U\left(C_{\mathrm {pi} }+1-2\cos 2\theta \right)\quad {\text{at }}r=a\,,}$

но условие нулевого чистого потока

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}\,\mathrm {d} \theta =0}$

требует, чтобы C_Пи = −1. Следовательно,

${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}=-2\varepsilon rU\cos 2\theta \quad {\text{at }}r=a\,.}$

Тогда решение первого приближения есть

${\displaystyle \psi (r,\theta )=Ur\left(1-{\frac {a^{2}}{r^{2}}}\right)\sin \theta -\varepsilon U{\frac {a^{3}}{r^{2}}}\sin 2\theta +\mathrm {O} \left(\varepsilon ^{2}\right)\,.}$

Гофрированный квазицилиндр

Если цилиндр имеет переменный радиус в осевом направлении, z-ось, р = а (1 + ε грех z/б), то решение первого приближения по трехмерному потенциалу скорости имеет вид

${\displaystyle \phi (r,\theta ,z)=Ur\left(1+{\frac {a^{2}}{r^{2}}}\right)\cos \theta -2\varepsilon Ub{\frac {K_{1}\left({\frac {r}{b}}\right)}{K_{1}'\left({\frac {r}{b}}\right)}}\cos \theta \sin {\frac {z}{b}}+\mathrm {O} \left(\varepsilon ^{2}\right)\,,}$

где K₁(р/б) это модифицированная функция Бесселя первого рода первого порядка.

использованная литература

1. Бэтчелор, Джордж Кейт (2000). Введение в динамику жидкости. Издательство Кембриджского университета. ISBN  9780521663960.^{[страница нужна ]}
2. Ачесон, Дэвид Дж. (1990). Элементарная гидродинамика. Издательство Оксфордского университета. ISBN  9780198596790.^{[страница нужна ]}
3. О. ЯНЗЕН, Beitrag zu eincr Theorie der stationaren Stromung kompressibler Flussigkeiten. Phys. Zeits., 14 (1913)
4. Рэлей, Л. (1916). I. О течении сжимаемой жидкости мимо препятствия. Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал, 32 (187), 1-6.
5. Ван Дайк, Милтон (1975). Методы возмущений в механике жидкости. Параболический пресс.^{[ISBN отсутствует ][страница нужна ]}