Состояние Прандтля - Prandtl condition

В Состояние Прандтля предложил немецкий физик Людвиг Прандтль выявить возможные точки отрыва пограничного слоя несжимаемых течений.^[1]

Состояние Прандтля - нормальный шок

В случае нормального скачка уплотнения предполагается, что поток находится в установившемся состоянии, а толщина скачка очень мала. Кроме того, предполагается, что на ударе нет трения или потерь тепла (поскольку теплопередача незначительна, поскольку происходит на относительно небольшой поверхности). В этом поле принято обозначать x как верхний по потоку и y как нижний по потоку. Поскольку массовый расход с двух сторон скачка уплотнения постоянен, баланс массы становится равным

${\displaystyle \rho _{x}.U_{x}=\rho _{y}.U_{y}}$

Поскольку внешняя сила не применяется, импульс сохраняется, что приводит к уравнению

${\displaystyle P_{x}-P_{y}=\rho _{x}.U_{x}^{2}-\rho _{y}.U{y}^{2}}$

Поскольку тепловой поток незначителен, процесс можно рассматривать как адиабатический. Таким образом, уравнение энергии будет

${\displaystyle C_{p}.T_{x}+{\frac {U_{x}^{2}}{2}}=C_{p}.T_{y}+{\frac {U_{y}^{2}}{2}}}$

Из уравнения состояния идеального газа P = ρRT

Поскольку температура с обеих сторон скачка уплотнения прекращается, скорость звука в этих прилегающих средах различна. Поэтому удобно определить звездное число Маха, которое не будет зависеть от конкретного числа Маха. Исходя из звездных условий, скорость звука в критическом состоянии также может быть хорошей эталонной скоростью. Скорость звука при этой температуре равна,

${\displaystyle c^{*}={\sqrt {kRT^{*}}}}$

И дополнительное число Маха, которое не зависит от конкретного числа Маха, равно

${\displaystyle M^{*}={\frac {U}{c^{*}}}={\frac {cM}{c^{*}}}}$

Поскольку энергия остается постоянной в толчке,

${\displaystyle {\frac {c^{2}}{k-1}}+{\frac {U^{2}}{2}}={\frac {c^{*^{2}}}{k-1}}+{\frac {c^{*^{2}}}{2}}={\frac {(k+1)c^{*^{2}}}{2(k-1)}}}$

разделив уравнение массы на уравнение количества движения, мы получим

${\displaystyle {\frac {c_{1}^{2}}{kU_{1}}}+U_{1}={\frac {c_{2}^{2}}{kU_{2}}}+U_{2}}$

Из приведенных выше уравнений,

${\displaystyle {\frac {1}{kU_{1}}}[{\frac {(k+1)c^{*^{2}}}{2}}-{\frac {(k-1)U_{1}}{2}}]+U_{1}={\frac {1}{kU_{2}}}[{\frac {(k+1)c^{*^{2}}}{2}}-{\frac {(k-1)U_{2}}{2}}]+U_{2}}$

это даст рост

${\displaystyle U_{1}.U_{2}=a^{*^{2}}}$

Это называется состоянием Прандтля при нормальном шоке.

Рекомендации

1. Тиан Ма; Шоухонг Ван (2005). Геометрическая теория течений несжимаемой жидкости в приложениях к гидродинамике. American Mathematical Soc. С. 10–. ISBN  978-0-8218-3693-4.