Метрика продукта - Product metric

В математика, а показатель продукта это метрика на Декартово произведение конечного числа метрические пространства ${displaystyle (X_{1},d_{X_{1}}),ldots ,(X_{n},d_{X_{n}})}$ который метризует топологию продукта. Наиболее заметными показателями продукта являются п показатели продукта для фиксированного ${displaystyle pin [1,infty ]}$ : Он определяется как п норма из п-вектор расстояний, измеренных в п подпространства:

${displaystyle d_{p}((x_{1},ldots ,x_{n}),(y_{1},ldots ,y_{n}))=|left(d_{X_{1}}(x_{1},y_{1}),ldots ,d_{X_{n}}(x_{n},y_{n})ight)|_{p}}$

За ${displaystyle p=infty }$ эта метрика также называется sup-метрикой:

${displaystyle d_{infty }((x_{1},ldots ,x_{n}),(y_{1},ldots ,y_{n})):=max left{d_{X_{1}}(x_{1},y_{1}),ldots ,d_{X_{n}}(x_{n},y_{n})ight}.}$

Выбор нормы

За Евклидовы пространства, используя L₂ норма порождает евклидову метрику в пространстве произведения; однако любой другой выбор п приведет к топологически эквивалентному метрическому пространству. в категория метрических пространств (с отображениями Липшица, имеющими константу Липшица 1), продукт (в смысле теории категорий) использует метрику sup.

Случай римановых многообразий

За Римановы многообразия ${displaystyle (M_{1},g_{1})}$ и ${displaystyle (M_{2},g_{2})}$, то показатель продукта ${displaystyle g=g_{1}oplus g_{2}}$ на ${displaystyle M_{1} imes M_{2}}$ определяется

${displaystyle g(X_{1}+X_{2},Y_{1}+Y_{2})=g_{1}(X_{1},Y_{1})+g_{2}(X_{2},Y_{2})}$

за ${displaystyle X_{i},Y_{i}in T_{p_{i}}M_{i}}$ под естественной идентификацией ${displaystyle T_{(p_{1},p_{2})}(M_{1} imes M_{2})=T_{p_{1}}M_{1}oplus T_{p_{2}}M_{2}}$.

Рекомендации

• Деза, Мишель Мари; Деза, Елена (2009), Энциклопедия расстояний, Springer-Verlag, стр. 83.
• Ли, Джон (1997), Римановы многообразия, Springer Verlag, ISBN  978-0-387-98322-6.