Псевдоалгебраически замкнутое поле - Pseudo algebraically closed field

В математика, а поле ${displaystyle K}$ является псевдоалгебраически замкнутый если он удовлетворяет некоторым свойствам, которые выполняются для алгебраически замкнутые поля. Концепция была представлена Джеймс Экс в 1967 г.^[1]

Формулировка

Поле K псевдоалгебраически замкнуто (обычно сокращенно PAC^[2]), если выполняется одно из следующих эквивалентных условий:

• Каждый абсолютно несводимый разнообразие ${displaystyle V}$ определяется по ${displaystyle K}$ имеет ${displaystyle K}$-рациональная точка.
• Для каждого абсолютно неприводимого многочлена ${displaystyle fin K[T_{1},T_{2},cdots ,T_{r},X]}$ с ${displaystyle {frac {partial f}{partial X}}ot =0}$ и для каждого ненулевого ${displaystyle gin K[T_{1},T_{2},cdots ,T_{r}]}$ Существует ${displaystyle ({ extbf {a}},b)in K^{r+1}}$ такой, что ${displaystyle f({ extbf {a}},b)=0}$ и ${displaystyle g({ extbf {a}})ot =0}$.
• Каждый абсолютно неприводимый многочлен ${displaystyle fin K[T,X]}$ бесконечно много ${displaystyle K}$-рациональные точки.
• Если ${displaystyle R}$ является конечно порожденным область целостности над ${displaystyle K}$ с поле частного который обычный над ${displaystyle K}$, то существует гомоморфизм ${displaystyle h:R o K}$ такой, что ${displaystyle h(a)=a}$ для каждого ${displaystyle ain K}$.

Примеры

• Алгебраически замкнутые поля и раздельно закрытый поля всегда PAC.
• Псевдоконечные поля и гиперконечные поля являются PAC.
• Неосновной сверхпродукт различных конечные поля является (псевдоконечным и, следовательно,^[3]) PAC.^[2] Axe выводит это из Гипотеза Римана для кривых над конечными полями.^[1]
• Бесконечный алгебраические расширения конечных полей - это PAC.^[4]
• PAC Nullstellensatz. В абсолютная группа Галуа ${displaystyle G}$ поля ${displaystyle K}$ является проклятый, следовательно компактный, и, следовательно, снабжен нормализованной Мера Хаара. Позволять ${displaystyle K}$ быть счетным Гильбертово поле и разреши ${displaystyle e}$ быть позитивным целое число. Тогда почти для всех ${displaystyle e}$- пары ${displaystyle (sigma _{1},...,sigma _{e})in G^{e}}$, фиксированное поле подгруппа генерируется автоморфизмы это PAC. Здесь фраза «почти все» означает «все, кроме набора мера нуль".^[5] (Этот результат является следствием теоремы Гильберта о неприводимости.)
• Позволять K быть максимальным полностью реальный Расширение Галуа из рациональное число и я квадратный корень из −1. потом K(я) - это PAC.

Характеристики

• В Группа Брауэра поля PAC тривиально,^[6] как любой Сорт Севери – Брауэра имеет рациональную точку зрения.^[7]
• В абсолютная группа Галуа поля PAC является проективная проконечная группа; эквивалентно, он имеет когомологическая размерность максимум 1.^[7]
• Область PAC характеристика ноль C1.^[8]

Рекомендации

1. Фрид и Джарден (2008), стр.218
2. Фрид и Джарден (2008) стр.192
3. Фрид и Джарден (2008), стр.449
4. Фрид и Джарден (2008) стр.196
5. Фрид и Джарден (2008) стр.380
6. Фрид и Джарден (2008) стр.209
7. Фрид и Джарден (2008), стр.210
8. Фрид и Джарден (2008), стр.462

• Фрид, Майкл Д .; Джарден, Моше (2008). Полевая арифметика. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Фольге. 11 (3-е изд. Изм.). Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-77269-9. Zbl  1145.12001.