Псевдоаналитическая функция - Pseudoanalytic function

В математике псевдоаналитические функции являются функциями, введенными Липман Берс (1950, 1951, 1953, 1956 ), которые обобщают аналитические функции и удовлетворить ослабленную форму Уравнения Коши – Римана.

Определения

Позволять ${ displaystyle z = x + iy}$ и разреши ${ Displaystyle sigma (х, y) = sigma (z)}$ - вещественная функция, определенная в ограниченной области ${ displaystyle D}$ . Если ${ displaystyle sigma> 0}$ и ${ displaystyle sigma _ {x}}$ и ${ displaystyle sigma _ {y}}$ находятся Гёльдер непрерывный, тогда ${ displaystyle sigma}$ допустимо в ${ displaystyle D}$ . Далее, учитывая Риманова поверхность ${ displaystyle F}$ , если ${ displaystyle sigma}$ допустима для некоторой окрестности в каждой точке ${ displaystyle F}$ , ${ displaystyle sigma}$ допустимо на ${ displaystyle F}$ .

Комплекснозначная функция ${ Displaystyle е (г) = и (х, у) + iv (х, у)}$ псевдоаналитичен относительно допустимого ${ displaystyle sigma}$ в момент ${ displaystyle z_ {0}}$ если все частные производные от ${ displaystyle u}$ и ${ displaystyle v}$ существуют и удовлетворяют следующим условиям:

{ displaystyle u_ {x} = sigma (x, y) v_ {y}, quad u_ {y} = - sigma (x, y) v_ {x}}

Если ${ displaystyle f}$ является псевдоаналитическим в каждой точке некоторой области, тогда он является псевдоаналитическим в этой области.^[1]

Сходства с аналитическими функциями

Если ${ displaystyle f (z)}$ не постоянный ${ displaystyle 0}$ , то нули ${ displaystyle f}$ все изолированы.
Поэтому любой аналитическое продолжение из ${ displaystyle f}$ уникален.^[2]

Примеры

Комплексные константы являются псевдоаналитическими.
Любой линейная комбинация с действительными коэффициентами псевдоаналитических функций является псевдоаналитическим.^[1]

Смотрите также

дальнейшее чтение

Кравченко, Владислав В. (2009). Прикладная теория псевдоаналитических функций. Бирхаузер. ISBN 978-3-0346-0004-0.
Берс, Липман (1951), «Уравнения с частными производными и обобщенные аналитические функции. Второе примечание» (PDF), Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки, 37 (1): 42–47, Дои:10.1073 / pnas.37.1.42, ISSN 0027-8424, JSTOR 88213, МИСТЕР 0044006, ЧВК 1063297, PMID 16588987
Берс, Липман (1953), Теория псевдоаналитических функций, Институт математики и механики, Нью-Йоркский университет, Нью-Йорк, МИСТЕР 0057347

[Bers1950-1] а ^б Берс, Липман (1950), «Уравнения с частными производными и обобщенные аналитические функции» (PDF), Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки, 36 (2): 130–136, Дои:10.1073 / pnas.36.2.130, ISSN 0027-8424, JSTOR 88348, МИСТЕР 0036852, ЧВК 1063147, PMID 16588958

[Bers1956-2] Берс, Липман (1956), «Очерк теории псевдоаналитических функций» (PDF), Бюллетень Американского математического общества, 62 (4): 291–331, Дои:10.1090 / с0002-9904-1956-10037-2, ISSN 0002-9904, МИСТЕР 0081936

[1]

[2]