Псевдоотражение - Pseudoreflection - Wikipedia

В математика, а псевдоотражение обратимый линейное преобразование конечномерного векторное пространство так что это не преобразование идентичности, имеет конечную (мультипликативную) порядок, и исправляет гиперплоскость. Понятие псевдоотражения обобщает представления о отражение и сложное отражение, и называется просто отражение некоторыми математиками. Он играет важную роль в Теория инвариантов конечных групп, в том числе Теорема Шевалле-Шепарда-Тодда.^[1]

Формальное определение

Предположим, что V является векторное пространство над полем K, чей измерение конечное число п. А псевдоотражение обратимый линейное преобразование ${\displaystyle g:V\to V}$ такой, что порядок грамм конечно и фиксированное подпространство ${\displaystyle V^{g}=\{v\in V:\ gv=v\}}$ всех векторов в V фиксируется грамм имеет размер п-1.

Собственные значения

Псевдоотражение грамм имеет собственное значение 1 кратности п-1 и другое собственное значение р кратности 1. Поскольку грамм имеет конечный порядок, собственное значение р должен быть корень единства в поле K. Возможно, что р = 1 (см. Трансвекции ).

Диагонализируемые псевдоотражения

Позволять п быть характеристика поля K. Если порядок грамм является совмещать к п тогда грамм является диагонализуемый и представлен диагональная матрица

diag (1, ..., 1, р ) = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1&0\\0&0&0&\cdots &r\\\end{bmatrix}}}$

куда р является корнем из единицы, не равным 1. Это включает в себя случай, когда K поле с нулевой характеристикой, такое как поле действительных чисел и поле комплексных чисел.

Диагонализуемое псевдоотражение иногда называют полупростое отражение.

Реальные размышления

Когда K - поле действительных чисел, псевдоотражение имеет матричную форму diag (1, ..., 1, -1). Псевдоотражение с такой матричной формой называется настоящее отражение. Если пространство, на котором действует это преобразование, допускает симметричная билинейная форма так что ортогональность векторов можно определить, то преобразование истинно отражение.

Сложные размышления

Когда K - поле комплексных чисел, псевдоотражение называется сложное отражение, который можно представить в виде диагональная матрица diag (1, ..., 1, r), где r - комплексный корень из единицы, не равный 1.

Трансвекции

Если псевдоотражение грамм не диагонализируется, то р = 1 и грамм имеет Нормальная форма Джордана

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&1\\0&0&0&\cdots &1\\\end{bmatrix}}}$

В таком случае грамм называется трансвекция. Псевдоотражение грамм является трансвекцией тогда и только тогда, когда характеристика п поля K положительный и порядок грамм является п. Трансвекции полезны при изучении конечных геометрий и классификации их групп движений.^[2]

Рекомендации

1. Нойзель, Мара Д. и Смит, Ларри (2002). Инвариантная теория конечных групп. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  0-8218-2916-5.
2. Артин, Эмиль (1988). Геометрическая алгебра. Библиотека Wiley Classics. Нью-Йорк: John Wiley & Sons Inc., стр. X + 214. ISBN  0-471-60839-4. МИСТЕР  1009557. (Перепечатка оригинала 1957 года; публикация Wiley-Interscience)