Q-функция - Q-function

Для функции фазового пространства, представляющей квантовое состояние, см. Представление Хусими Q.

График Q-функции.

В статистика, то Q-функция это функция распределения хвостов из стандартное нормальное распределение.^[1][2] Другими словами, ${\displaystyle Q(x)}$ вероятность того, что нормальный (гауссовский) случайная переменная получит значение больше, чем ${\displaystyle x}$ Стандартное отклонение. Эквивалентно, ${\displaystyle Q(x)}$ это вероятность того, что стандартная нормальная случайная величина принимает значение больше, чем ${\displaystyle x}$.

Если ${\displaystyle Y}$ - гауссовская случайная величина со средним ${\displaystyle \mu }$ и дисперсия ${\displaystyle \sigma ^{2}}$, тогда ${\displaystyle X={\frac {Y-\mu }{\sigma }}}$ является стандартный нормальный и

${\displaystyle P(Y>y)=P(X>x)=Q(x)}$

куда ${\displaystyle x={\frac {y-\mu }{\sigma }}}$.

Другие определения Q-функции, которые представляют собой простые преобразования нормального кумулятивная функция распределения, также иногда используются.^[3]

Из-за его связи с кумулятивная функция распределения нормального распределения Q-функция также может быть выражена через функция ошибки, что является важной функцией в прикладной математике и физике.

Определение и основные свойства

Формально Q-функция определяется как

${\displaystyle Q(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{x}^{\infty }\exp \left(-{\frac {u^{2}}{2}}\right)\,du.}$

Таким образом,

${\displaystyle Q(x)=1-Q(-x)=1-\Phi (x)\,\!,}$

куда ${\displaystyle \Phi (x)}$ это кумулятивная функция распределения стандартного нормального распределения Гаусса.

В Q-функция может быть выражена через функция ошибки, или дополнительная функция ошибок, как^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}Q(x)&={\frac {1}{2}}\left({\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{x/{\sqrt {2}}}^{\infty }\exp \left(-t^{2}\right)\,dt\right)\\&={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)~~{\text{ -or-}}\\&={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right).\end{aligned}}}$

Альтернативная форма Q-функция, известная как формула Крейга, в честь ее первооткрывателя, выражается как:^[4]

${\displaystyle Q(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sin ^{2}\theta }}\right)d\theta .}$

Это выражение действительно только для положительных значений Икс, но его можно использовать вместе с Q(Икс) = 1 − Q(−Икс) чтобы получить Q(Икс) для отрицательных значений. Эта форма выгодна тем, что диапазон интегрирования является фиксированным и конечным.

Формула Крейга была позже расширена Бехнадом (2020)^[5] для Q-функция суммы двух неотрицательных переменных, как показано ниже:

${\displaystyle Q(x+y)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sin ^{2}\theta }}-{\frac {y^{2}}{2\cos ^{2}\theta }}\right)d\theta ,\quad x,y\geqslant 0.}$

Границы и приближения

• В Q-функция не элементарная функция. Однако границы, где ${\displaystyle \phi (x)}$ - функция плотности стандартного нормального распределения,^[6]

${\displaystyle \left({\frac {x}{1+x^{2}}}\right)\phi (x)<Q(x)<{\frac {\phi (x)}{x}},\qquad x>0,}$

становиться все более тесным для больших Икс, и часто бывают полезными.

С использованием замена v =ты²/ 2, верхняя оценка выводится следующим образом:

${\displaystyle Q(x)=\int _{x}^{\infty }\phi (u)\,du<\int _{x}^{\infty }{\frac {u}{x}}\phi (u)\,du=\int _{\frac {x^{2}}{2}}^{\infty }{\frac {e^{-v}}{x{\sqrt {2\pi }}}}\,dv=-{\biggl .}{\frac {e^{-v}}{x{\sqrt {2\pi }}}}{\biggr |}_{\frac {x^{2}}{2}}^{\infty }={\frac {\phi (x)}{x}}.}$

Аналогично, используя ${\displaystyle \phi '(u)=-u\phi (u)}$ и правило частного,

${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{x^{2}}}\right)Q(x)=\int _{x}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{x^{2}}}\right)\phi (u)\,du>\int _{x}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{u^{2}}}\right)\phi (u)\,du=-{\biggl .}{\frac {\phi (u)}{u}}{\biggr |}_{x}^{\infty }={\frac {\phi (x)}{x}}.}$

Решение для Q(Икс) дает нижнюю оценку.

В среднее геометрическое верхней и нижней границы дает подходящее приближение для ${\displaystyle Q(x)}$:

${\displaystyle Q(x)\approx {\frac {\phi (x)}{\sqrt {1+x^{2}}}},\qquad x\geq 0.}$

• Более жесткие оценки и приближения ${\displaystyle Q(x)}$ также можно получить, оптимизируя следующее выражение ^[6]

${\displaystyle {\tilde {Q}}(x)={\frac {\phi (x)}{(1-a)x+a{\sqrt {x^{2}+b}}}}.}$

За ${\displaystyle x\geq 0}$, наилучшая оценка сверху определяется выражением ${\displaystyle a=0.344}$ и ${\displaystyle b=5.334}$ с максимальной абсолютной относительной погрешностью 0,44%. Аналогично, наилучшее приближение дается формулой ${\displaystyle a=0.339}$ и ${\displaystyle b=5.510}$ с максимальной абсолютной относительной погрешностью 0,27%. Наконец, лучшая нижняя оценка определяется выражением ${\displaystyle a=1/\pi }$ и ${\displaystyle b=2\pi }$ с максимальной абсолютной относительной погрешностью 1,17%.

• В Граница Чернова из Q-функция

${\displaystyle Q(x)\leq e^{-{\frac {x^{2}}{2}}},\qquad x>0}$

• Улучшенные экспоненциальные оценки и чисто экспоненциальное приближение: ^[7]

${\displaystyle Q(x)\leq {\tfrac {1}{4}}e^{-x^{2}}+{\tfrac {1}{4}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\leq {\tfrac {1}{2}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}},\qquad x>0}$

${\displaystyle Q(x)\approx {\frac {1}{12}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}+{\frac {1}{4}}e^{-{\frac {2}{3}}x^{2}},\qquad x>0}$

• Вышесказанное было обобщено Tanash & Riihonen (2020).^[8], кто показал это ${\displaystyle Q(x)}$ может быть точно аппроксимирован или ограничен

${\displaystyle {\tilde {Q}}(x)=\sum _{n=1}^{N}a_{n}e^{-b_{n}x^{2}}.}$

В частности, они представили систематическую методологию решения числовых коэффициентов ${\displaystyle \{(a_{n},b_{n})\}_{n=1}^{N}}$ что дает минимакс приближение или граница: ${\displaystyle Q(x)\approx {\tilde {Q}}(x)}$, ${\displaystyle Q(x)\leq {\tilde {Q}}(x)}$, или же ${\displaystyle Q(x)\geq {\tilde {Q}}(x)}$ за ${\displaystyle x\geq 0}$. С помощью приведенных в таблице примеров коэффициентов для ${\displaystyle N=20}$, относительная и абсолютная погрешности аппроксимации меньше ${\displaystyle 2.831\cdot 10^{-6}}$ и ${\displaystyle 1.416\cdot 10^{-6}}$, соответственно. Коэффициенты ${\displaystyle \{(a_{n},b_{n})\}_{n=1}^{N}}$ для многих вариаций экспоненциальных приближений и оценок вплоть до ${\displaystyle N=25}$ были выпущены в открытый доступ в виде исчерпывающего набора данных.^[9]

• Другое приближение ${\displaystyle Q(x)}$ за ${\displaystyle x\in [0,\infty )}$ предоставлено Karagiannidis & Lioumpas (2007)^[10] кто показал за правильный выбор параметров ${\displaystyle \{A,B\}}$ который

${\displaystyle f(x;A,B)={\frac {\left(1-e^{-Ax}\right)e^{-x^{2}}}{B{\sqrt {\pi }}x}}\approx \operatorname {erfc} \left(x\right).}$

Абсолютная ошибка между ${\displaystyle f(x;A,B)}$ и ${\displaystyle \operatorname {erfc} (x)}$ по всему диапазону ${\displaystyle [0,R]}$ сводится к минимуму путем оценки

${\displaystyle \{A,B\}={\underset {\{A,B\}}{\arg \min }}{\frac {1}{R}}\int _{0}^{R}|f(x;A,B)-\operatorname {erfc} (x)|dx.}$

С помощью ${\displaystyle R=20}$ и численно интегрировав, они обнаружили, что минимальная ошибка возникает, когда ${\displaystyle \{A,B\}=\{1.98,1.135\},}$ что дало хорошее приближение для ${\displaystyle \forall x\geq 0.}$

Подставляя эти значения и используя соотношение между ${\displaystyle Q(x)}$ и ${\displaystyle \operatorname {erfc} (x)}$ сверху дает

${\displaystyle Q(x)\approx {\frac {\left(1-e^{-1.98x}\right)e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}{1.135{\sqrt {2\pi }}x}},x\geq 0.}$

• Более точное и послушное приближение ${\displaystyle Q(x)}$ за положительные аргументы ${\displaystyle x\in [0,\infty )}$ предоставлено Лопес-Бенитес и Касадеваль (2011)^[11] на основе экспоненциальной функции второго порядка:

${\displaystyle Q(x)\approx e^{-ax^{2}-bx-c},\qquad x\geq 0.}$

Подгоночные коэффициенты ${\displaystyle (a,b,c)}$ можно оптимизировать по любому желаемому диапазону аргументов, чтобы минимизировать сумму квадратичных ошибок (${\displaystyle a=0.3842}$, ${\displaystyle b=0.7640}$, ${\displaystyle c=0.6964}$ за ${\displaystyle x\in [0,20]}$) или минимизировать максимальную абсолютную ошибку (${\displaystyle a=0.4920}$, ${\displaystyle b=0.2887}$, ${\displaystyle c=1.1893}$ за ${\displaystyle x\in [0,20]}$). Это приближение предлагает некоторые преимущества, такие как хороший компромисс между точностью и аналитической управляемостью (например, расширение любой произвольной степени ${\displaystyle Q(x)}$ тривиально и не меняет алгебраической формы приближения).

Обратный Q

Обратное Q-функция может быть связана с обратные функции ошибок:

${\displaystyle Q^{-1}(y)={\sqrt {2}}\ \mathrm {erf} ^{-1}(1-2y)={\sqrt {2}}\ \mathrm {erfc} ^{-1}(2y)}$

Функция ${\displaystyle Q^{-1}(y)}$ находит применение в цифровых коммуникациях. Обычно выражается в дБ и обычно называется Добротность:

${\displaystyle \mathrm {Q{\text{-}}factor} =20\log _{10}\!\left(Q^{-1}(y)\right)\!~\mathrm {dB} }$

куда у - коэффициент ошибок по битам (BER) анализируемого сигнала с цифровой модуляцией. Например, для QPSK в аддитивном белом гауссовском шуме Q-фактор, определенный выше, совпадает со значением в дБ соотношение сигнал шум что дает коэффициент битовых ошибок, равный у.

Q-фактор в зависимости от частоты ошибок по битам (BER).

Значения

В Q-функция хорошо табулирована и может быть вычислена непосредственно в большинстве математических программных пакетов, таких как р и те, которые доступны в Python, MATLAB и Mathematica. Некоторые ценности Q-функции приведены ниже для справки.

Q(0.0) 0.500000000 1/2.0000 Q(0.1) 0.460172163 1/2.1731 Q(0.2) 0.420740291 1/2.3768 Q(0.3) 0.382088578 1/2.6172 Q(0.4) 0.344578258 1/2.9021 Q(0.5) 0.308537539 1/3.2411 Q(0.6) 0.274253118 1/3.6463 Q(0.7) 0.241963652 1/4.1329 Q(0.8) 0.211855399 1/4.7202 Q(0.9) 0.184060125 1/5.4330

Q(1.0) 0.158655254 1/6.3030 Q(1.1) 0.135666061 1/7.3710 Q(1.2) 0.115069670 1/8.6904 Q(1.3) 0.096800485 1/10.3305 Q(1.4) 0.080756659 1/12.3829 Q(1.5) 0.066807201 1/14.9684 Q(1.6) 0.054799292 1/18.2484 Q(1.7) 0.044565463 1/22.4389 Q(1.8) 0.035930319 1/27.8316 Q(1.9) 0.028716560 1/34.8231

Q(2.0) 0.022750132 1/43.9558 Q(2.1) 0.017864421 1/55.9772 Q(2.2) 0.013903448 1/71.9246 Q(2.3) 0.010724110 1/93.2478 Q(2.4) 0.008197536 1/121.9879 Q(2.5) 0.006209665 1/161.0393 Q(2.6) 0.004661188 1/214.5376 Q(2.7) 0.003466974 1/288.4360 Q(2.8) 0.002555130 1/391.3695 Q(2.9) 0.001865813 1/535.9593

Q(3.0) 0.001349898 1/740.7967 Q(3.1) 0.000967603 1/1033.4815 Q(3.2) 0.000687138 1/1455.3119 Q(3.3) 0.000483424 1/2068.5769 Q(3.4) 0.000336929 1/2967.9820 Q(3.5) 0.000232629 1/4298.6887 Q(3.6) 0.000159109 1/6285.0158 Q(3.7) 0.000107800 1/9276.4608 Q(3.8) 0.000072348 1/13822.0738 Q(3.9) 0.000048096 1/20791.6011 Q(4.0) 0.000031671 1/31574.3855

Обобщение на большие измерения

В Q-функция может быть обобщена на более высокие измерения:^[12]

${\displaystyle Q(\mathbf {x} )=\mathbb {P} (\mathbf {X} \geq \mathbf {x} ),}$

куда ${\displaystyle \mathbf {X} \sim {\mathcal {N}}(\mathbf {0} ,\,\Sigma )}$ следует многомерному нормальному распределению с ковариацией ${\displaystyle \Sigma }$ а порог имеет вид${\displaystyle \mathbf {x} =\gamma \Sigma \mathbf {l} ^{*}}$ для некоторого положительного вектора ${\displaystyle \mathbf {l} ^{*}>\mathbf {0} }$ и положительная постоянная ${\displaystyle \gamma >0}$. Как и в одномерном случае, простой аналитической формулы для Q-функция. Тем не менее Q-функция может быть аппроксимированы произвольно хорошо в качестве ${\displaystyle \gamma }$ становится все больше и больше.^[13][14]

Рекомендации

1. Q-функция, из cnx.org
2. Основные свойства Q-функции В архиве 25 марта 2009 г. Wayback Machine
3. Функция нормального распределения - от Wolfram MathWorld
4. Крейг, Дж. (1991). «Новый, простой и точный результат для расчета вероятности ошибки для двумерных сигнальных созвездий» (PDF). МИЛКОМ 91 - Протокол конференции. С. 571–575. Дои:10.1109 / MILCOM.1991.258319. ISBN  0-87942-691-8. S2CID  16034807.
5. Бехнад, Айдын (2020). «Новое расширение формулы Q-функции Крейга и ее применение в анализе производительности EGC с двумя ветвями». Транзакции IEEE по коммуникациям. 68 (7): 4117–4125. Дои:10.1109 / TCOMM.2020.2986209. S2CID  216500014.
6. Borjesson, P .; Сундберг, К.-Э. (1979). «Простые приближения функции ошибок Q (x) для приложений связи». Транзакции IEEE по коммуникациям. 27 (3): 639–643. Дои:10.1109 / TCOM.1979.1094433.
7. Chiani, M .; Дардари, Д .; Саймон, М. (2003). «Новые экспоненциальные границы и приближения для вычисления вероятности ошибки в каналах с замираниями» (PDF). Транзакции IEEE по беспроводной связи. 24 (5): 840–845. Дои:10.1109 / TWC.2003.814350.
8. Танаш, И.М .; Риихонен, Т. (2020). «Глобальные минимаксные приближения и оценки гауссовской Q-функции суммами экспонент». Транзакции IEEE по коммуникациям. 68 (10): 6514–6524. arXiv:2007.06939. Дои:10.1109 / TCOMM.2020.3006902. S2CID  220514754.
9. Танаш, И.М .; Риихонен, Т. (2020). «Коэффициенты для глобального минимаксного приближения и границы для гауссовой Q-функции суммами экспонент [набор данных]». Зенодо. Дои:10.5281 / zenodo.4112978.
10. Карагианнидис, Джордж; Лиумпас, Афанасий (2007). «Улучшенное приближение для гауссовой Q-функции» (PDF). Письма по коммуникациям IEEE. 11 (8): 644–646. Дои:10.1109 / LCOMM.2007.070470. S2CID  4043576.
11. Лопес-Бенитес, Мигель; Касадеваль, Фернандо (2011). «Универсальное, точное и аналитически управляемое приближение для гауссовой Q-функции» (PDF). Транзакции IEEE по коммуникациям. 59 (4): 917–922. Дои:10.1109 / TCOMM.2011.012711.100105. S2CID  1145101.
12. Сэвидж, И. Р. (1962). «Коэффициент Миллса для многомерных нормальных распределений». Журнал исследований Национального бюро стандартов Раздел B. 66 (3): 93–96. Дои:10.6028 / jres.066B.011. Zbl  0105.12601.
13. Ботев З.И. (2016). «Нормальный закон при линейных ограничениях: моделирование и оценка через минимаксный наклон». Журнал Королевского статистического общества, серия B. 79: 125–148. arXiv:1603.04166. Bibcode:2016arXiv160304166B. Дои:10.1111 / rssb.12162. S2CID  88515228.
14. Ботев, З. И .; Mackinlay, D .; Чен, Ю.-Л. (2017). «Логарифмически эффективная оценка хвоста многомерного нормального распределения». Зимняя конференция по моделированию 2017 (WSC). IEEE. С. 1903–191. Дои:10.1109 / WSC.2017.8247926. ISBN  978-1-5386-3428-8. S2CID  4626481.