БЫСТРАЯ схема - QUICK scheme

В вычислительная гидродинамика БЫСТРО, что расшифровывается как Quadratic Upstream Interpolation for Convective Kinematics, является более высокимпорядок разностная схема, которая учитывает трехточечный восходящий взвешенный квадратичная интерполяция для номиналов ячеек.В вычислительной гидродинамике существует множество методов решения стационарных уравнение конвекции – диффузии. Некоторые из используемых методов - это центральная разностная схема, схема против ветра, гибридная схема, схема степенного закона и БЫСТРАЯ схема.

Схема QUICK была представлена ​​Брайаном П. Леонардом вместе со схемой QUICKEST (БЫСТРАЯ с расчетными условиями потоковой передачи) в статье 1979 года.^[1]

Чтобы найти номинал ячейки a квадратичная функция проходя через два брекетинговых или окружающих узла и один узел на стороне входа. В центральная разностная схема и второй порядок схема против ветра производная первого порядка включается, а производная второго порядка игнорируется. Таким образом, эти схемы считаются вторым порядком точности, тогда как QUICK учитывает производную второго порядка, но игнорирует производную третьего порядка, следовательно, это считается точностью третьего порядка.^[2] Эта схема используется для решения уравнения конвекции – диффузии используя центральную разность второго порядка для диффузионного члена и для конвекция Эта схема имеет третий порядок точности в пространстве и первый порядок точности во времени. QUICK лучше всего подходит для постоянный поток или квазиустойчивый высококонвективный эллиптический поток.^[3]

Квадратичная интерполяция для схемы QUICK

Квадратичный профиль

Для одномерной области, показанной на рисунке, значение Φ при контрольный объем лицо аппроксимируется с использованием трехточечной квадратичной функции, проходящей через два брекетинговых или окружающих узла и еще один узел на стороне выше по потоку.^[4]На рисунке, чтобы рассчитать значение свойства на грани, у нас должно быть три узла, то есть два брекетинговых или окружающих узла и один восходящий узел.

1. Φ_ш когда ты_ш > 0 и ты_е > 0 используется квадратичная аппроксимация через WW, W и P,
2. Φ_е когда ты_ш > 0 и ты_е > 0 используется квадратичная аппроксимация через W, P и E,
3. Φ_ш когда ты_ш <0 и ты_е <0 используются значения W, P и E,
4. Φ_е когда ты_ш <0 и ты_е <0 используются значения P, E и EE.

Пусть два узла скобки будут я и я - 1 и вышестоящий узел я - 2 тогда за форму сетка значение φ на грани ячейки между тремя узлами определяется выражением:

${\displaystyle \phi _{face}={\frac {6}{8}}\phi _{i-1}+{\frac {3}{8}}\phi _{i}-{\frac {1}{8}}\phi _{i-2}}$

Интерпретация свойства при разнонаправленных потоках

Установленная конвекция и диффузия свойства '' 'в данном одномерном поле течения со скоростью' u 'и при отсутствии источников даны

${\displaystyle {d(\rho u\phi ) \over dx}={\frac {d}{dx}}\left(r{\frac {d\phi }{dx}}\right).}$

Для непрерывности потока он также должен удовлетворять

${\displaystyle {d(\rho u) \over dx}=0.}$

Дискретизируя приведенное выше уравнение до контрольного объема вокруг конкретного узла, мы получаем

${\displaystyle (\rho uA\phi )_{e}-(\rho uA\phi )_{w}=\left(rA{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)_{e}-\left(rA{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)_{w}}$

Интегрируя это уравнение неразрывности по контрольному объему, получаем

${\displaystyle \left(\rho uA\right)_{e}-\left(\rho uA\right)_{w}=0}$

теперь предполагая ${\displaystyle F=\rho u}$ и ${\displaystyle D=r/\sigma x}$

Соответствующие номиналы ячеек вышеуказанных переменных задаются формулами

${\displaystyle F_{w}=\left(\rho u\right)_{w}}$

${\displaystyle F_{e}=\left(\rho u\right)_{e}}$

${\displaystyle D_{w}={r_{w}}/{\sigma x_{WP}}}$

${\displaystyle D_{e}={r_{e}}/{\sigma x_{PE}}}$

Принимая постоянную площадь по всему контрольному объему, получаем

${\displaystyle F_{e}\phi _{e}-F_{w}\phi _{w}=D_{e}\left(\phi _{E}-\phi _{P}\right)-D_{w}\left(\phi _{P}-\phi _{W}\right)}$

Положительное направление

Когда поток идет в положительном направлении, значения скоростей будут ${\displaystyle u_{w}>0}$ и ${\displaystyle u_{e}>0}$ ,

Для "w (западная грань)" узлами брекетинга являются W и P, тогда восходящим узлом является WW,^[5]

${\displaystyle \phi _{w}={\frac {6}{8}}\phi _{W}+{\frac {3}{8}}\phi _{P}-{\frac {1}{8}}\phi _{WW}}$

Для "e (восточная грань)" узлами брекетинга являются P и E, восходящим узлом является W, тогда

${\displaystyle \phi _{e}={\frac {6}{8}}\phi _{P}+{\frac {3}{8}}\phi _{E}-{\frac {1}{8}}\phi _{W}}$

Градиент из парабола используется для оценки распространение термины.

Если F_ш > 0 и F_е > 0, и если мы используем приведенные выше уравнения для конвективных членов и центральной разности для диффузионных членов, то дискретизированный форма одномерного уравнение переноса конвекции-диффузии будет записано как:

${\displaystyle F_{e}\phi _{e}-F_{w}\phi _{w}=D_{e}\left(\phi _{E}-\phi _{P}\right)-D_{w}\left(\phi _{P}-\phi _{W}\right)}$

${\displaystyle F_{e}\left({\frac {6}{8}}\phi _{p}+{\frac {3}{8}}\phi _{E}-{\frac {1}{8}}\phi _{w}\right)-F_{W}\left({\frac {6}{8}}\phi _{w}+{\frac {3}{8}}\phi _{p}-{\frac {1}{8}}\phi _{ww}\right)=D_{e}\left(\phi _{E}-\phi _{P}\right)-D_{W}\left(\phi _{p}-\phi _{w}\right)}$

При перестановке получаем

${\displaystyle \left(D_{w}-{\frac {3}{8}}F_{w}+D_{e}+{\frac {6}{8}}F_{e}\right)\phi _{P}=\left(D_{w}+{\frac {6}{8}}F_{w}+{\frac {1}{8}}F_{e}\right)\phi _{W}+\left(D_{e}-{\frac {3}{8}}F_{e}\right)\phi _{E}-{\frac {1}{8}}F_{w}\phi _{WW}}$

теперь это можно записать в стандартной форме:

${\displaystyle a_{P}\phi _{P}=a_{W}\phi _{W}+a_{E}\phi _{E}+a_{WW}\phi _{WW}}$

куда:

${\displaystyle a_{W}}$	${\displaystyle a_{E}}$	${\displaystyle a_{WW}}$	${\displaystyle a_{P}}$
${\displaystyle D_{w}+{\frac {6}{8}}F_{w}+{\frac {1}{8}}F_{e}}$	${\displaystyle D_{e}-{\frac {3}{8}}F_{e}}$	${\displaystyle -{\frac {1}{8}}F_{w}}$	${\displaystyle a_{W}+a_{E}+a_{WW}+\left(F_{e}-F_{w}\right)}$

Отрицательное направление

Когда поток идет в отрицательном направлении, значение скоростей будет ты_ш <0 и ты_е < 0,

Для западной стены w узлами брекетинга являются W и P, восходящим узлом является E, а для восточной стены E узлами брекетинга являются P и E, восходящим узлом является EE.

За ${\displaystyle F_{w}}$ <0 и ${\displaystyle F_{e}}$ <0 поток через западную и восточную границы определяется выражениями:

${\displaystyle \phi _{w}={\frac {6}{8}}\phi _{P}+{\frac {3}{8}}\phi _{W}-{\frac {1}{8}}\phi _{E}}$

${\displaystyle \phi _{e}={\frac {6}{8}}\phi _{E}+{\frac {3}{8}}\phi _{P}-{\frac {1}{8}}\phi _{EE}}$

Подстановка этих двух формул на конвективный членов дискретизированного уравнения конвекции-диффузии вместе с центральным дифференцированием для распространение После перестановки, аналогичной положительному направлению, как указано выше, условия приводят к следующим коэффициентам.

${\displaystyle a_{W}}$	${\displaystyle a_{E}}$	${\displaystyle a_{EE}}$	${\displaystyle a_{P}}$
${\displaystyle D_{w}+{\frac {3}{8}}F_{w}}$	${\displaystyle D_{e}-{\frac {6}{8}}F_{e}-{\frac {1}{8}}F_{w}}$	${\displaystyle {\frac {1}{8}}F_{e}}$	${\displaystyle a_{W}+a_{E}+a_{EE}+\left(F_{e}-F_{w}\right)}$

БЫСТРАЯ схема для одномерных задач конвекции – диффузии

а_пΦ_п = а_WΦ_W + а_EΦ_E + а_WWΦ_WW + а_EEΦ_EE

Здесь_п = а_W + а_E + а_WW + а_EE + (F_е - F_ш)

другие коэффициенты

аW	аWW	аE	аEE
Dш + 6/8 αш Fш + 1 / 8Fе αе +3/8 (1 - αш) Fш	−1/8 αшFш	Dе - 3 / 8αе Fе -6/8 (1 – αе) Fе −1/8 (1 – αш) Fш	1/8 (1 - αе) Fе

куда

α_ш= 1 для F_ш > 0 и α_е= 1 для F_е > 0

α_ш= 0 для F_ш <0 и α_е= 0 для F_е < 0.

Сравнение решений схем QUICK и против ветра

Из графика ниже видно, что схема QUICK более точна, чем схема против ветра. В схеме QUICK мы сталкиваемся с проблемами недолет и превышение из-за чего возникают некоторые ошибки. Эти отклонения и отклонения следует учитывать при интерпретации решений. Ложная диффузия ошибки будут минимизированы при использовании схемы QUICK по сравнению с другими схемами.

Сравнение решений QUICK и UPWIND

Смотрите также

• Схема против ветра
• Схема степенного закона
• Метод конечных объемов
• Метод конечных разностей

Рекомендации

1. Леонард, Б. (1979), «Стабильная и точная процедура конвективного моделирования, основанная на квадратичной интерполяции против потока», Компьютерные методы в прикладной механике и технике, 19 (1): 59–98, Bibcode:1979CMAME..19 ... 59л, Дои:10.1016/0045-7825(79)90034-3
2. Versteeg, H.K .; Малаласекера, В. (1995), Введение в вычислительную гидродинамику, стр. 125–132, ISBN  0-470-23515-2
3. Линь, Пэнчжи, Численное моделирование водных волн: знакомство с инженерами и учеными, п. 145, ISBN  0-415-41578-0
4. Mitra, Sushanta K .; Чакраборти, Суман, Справочник по микрофлюидике и нанофлюидике: изготовление, реализация и применение, п. 161, ISBN  1-4398-1671-9
5. Якобсен, Хьюго А., Моделирование химического реактора: многофазные реактивные потоки, п. 1029, ISBN  3-540-25197-9

дальнейшее чтение

• Патанкар, Сухас В. (1980), Числовая передача тепла и поток жидкости, Тейлор и Фрэнсис Групп, ISBN  978-0-89116-522-4
• Весселинг, Питер (2001), Принципы вычислительной гидродинамики, Спрингер, ISBN  978-3-540-67853-3
• Дата, Анил В. (2005), Введение в вычислительную гидродинамику, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-85326-2