Квадратурный зеркальный фильтр - Quadrature mirror filter

В цифровая обработка сигналов, а квадратурный зеркальный фильтр фильтр, амплитуда которого является зеркальным отражением ${\displaystyle \pi /2}$ того из другого фильтра. Вместе эти фильтры, впервые представленные Круазье и др., Известны как пара квадратурных зеркальных фильтров.

Фильтр ${\displaystyle H_{1}(z)}$ будет квадратурным зеркальным фильтром ${\displaystyle H_{0}(z)}$ если ${\displaystyle H_{1}(z)=H_{0}(-z)}$

Ответы фильтра симметричны относительно ${\displaystyle \Omega =\pi /2}$

${\displaystyle |H_{1}(e^{j\Omega })|=|H_{0}(e^{j(\pi -\Omega )})|}$

В аудио / голосовых кодеках пара квадратурных зеркальных фильтров часто используется для реализации банк фильтров который разделяет ввод сигнал на две полосы. Результирующие высокочастотные и низкочастотные сигналы часто уменьшаются в 2 раза, давая критически дискретизированное двухканальное представление исходного сигнала. Фильтры анализа часто связаны следующими формулами в дополнение к свойству квадратного зеркала:

${\displaystyle |H_{0}(e^{j\Omega })|^{2}+|H_{1}(e^{j\Omega })|^{2}=1}$ куда ${\displaystyle \Omega }$ это частота, а частота дискретизации нормирована на ${\displaystyle 2\pi }$.

Это известно как свойство комплементарности мощности. Другими словами, сумма мощностей фильтров верхних и нижних частот равна 1.

Ортогональный вейвлеты - в Вейвлеты Хаара и связанные Вейвлеты Добеши, Койфлеты, а некоторые разработаны Маллат, порождаются функции масштабирования которые вместе с вейвлетом удовлетворяют соотношению квадратурного зеркального фильтра.

Связь с другими банками фильтров

Самые ранние вейвлеты основывались на разложении функции по прямоугольным ступеням, вейвлетам Хаара. Обычно это плохое приближение, тогда как вейвлеты Добеши являются одними из самых простых, но наиболее важных семейств вейвлетов. Линейный фильтр, равный нулю для «гладких» сигналов, с учетом записи ${\displaystyle N}$ точки ${\displaystyle x_{n}}$ определяется как:

${\displaystyle y_{n}=\sum _{i=0}^{M-1}b_{i}x_{n-i}}$

Желательно, чтобы он равнялся нулю для константы, поэтому, принимая порядок ${\displaystyle m=4}$ Например:

${\displaystyle b_{0}\centerdot 1+b_{1}\centerdot 1+b_{2}\centerdot 1+b_{3}\centerdot 1=0}$

И чтобы он исчез для линейного пандуса, чтобы:

${\displaystyle b_{0}\centerdot 0+b_{1}\centerdot 1+b_{2}\centerdot 2+b_{3}\centerdot 3=0}$

Линейный фильтр исчезнет при любом ${\displaystyle x=\alpha n+\beta }$, и это все, что можно сделать с помощью вейвлета четвертого порядка. Потребуется шесть членов, чтобы обратить квадратичную кривую в нуль, и так далее, учитывая другие ограничения, которые необходимо включить. Далее сопутствующий фильтр может быть определен как:

${\displaystyle z_{n}=\sum _{i=0}^{M-1}c_{i}x_{n-i}}$

Этот фильтр реагирует прямо противоположным образом, будучи большим для гладких сигналов и маленьким для негладких сигналов. Линейный фильтр - это просто свертка сигнала с коэффициентами фильтра, поэтому ряд коэффициентов - это сигнал, на который фильтр реагирует максимально. Таким образом, выходной сигнал второго фильтра исчезает, когда в него вводятся коэффициенты первого. Цель состоит в том, чтобы:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{M-1}c_{i}b_{i}=0}$

Если связанный временной ряд меняет порядок коэффициентов, потому что линейный фильтр является сверткой, и поэтому оба имеют одинаковый индекс в этой сумме. Пара фильтров с этим свойством определяется как квадратурные зеркальные фильтры.^[1]Даже если две результирующие полосы были субдискретизированы с коэффициентом 2, соотношение между фильтрами означает, что приблизительно идеальная реконструкция возможно. Таким образом, две полосы затем могут быть подвергнуты повышающей дискретизации, снова отфильтрованы с помощью тех же фильтров и сложены вместе для точного воспроизведения исходного сигнала (но с небольшой задержкой). (В практических реализациях проблемы числовой точности в арифметике с плавающей запятой могут повлиять на совершенство реконструкции.)

дальнейшее чтение

• А.Круазье, Д.Эстебан, К.Галанд: Идеальное разделение каналов за счет использования методов декомпозиции дерева интерполяции / децимации. Первая международная конференция по наукам и системам, Патры, август 1976 г., стр. 443-446.
• Джонстон, Дж. Д., Семейство фильтров, предназначенное для использования в банках квадратурных зеркальных фильтров. [1]^{[постоянная мертвая ссылка ]}, Акустика, обработка речи и сигналов, Международная конференция IEEE, 5, 291-294, апрель 1980 г.
• Моленкамп М. Дж. Учебное пособие по вейвлетам и их приложениям. [2], Университет Колорадо, Боулдер, кафедра прикладной математики, 2004 г.
• Поликар Р. Анализ с множественным разрешением: дискретное вейвлет-преобразование. [3], Университет Роуэн, штат Нью-Джерси, кафедра электротехники и вычислительной техники

Рекомендации

1. Гершенфельд, Нил (1998), Природа математического моделирования, Кембридж, Англия: Cambridge University Press, стр. 132–135, ISBN  0521570956.