Квартальный период - Quarter period - Wikipedia

В математика, то квартальные периоды K(м) и яK ′(м) находятся специальные функции которые появляются в теории эллиптические функции.

Квартальные периоды K и яK ′ Даны

${\displaystyle K(m)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}}$

и

${\displaystyle {\rm {i}}K'(m)={\rm {i}}K(1-m).\,}$

Когда м действительное число, 0 ≤ м ≤ 1, то оба K и K ′ - действительные числа. Условно, K называется реальный квартальный период и яK 'Называется период воображаемой четверти. Любое из чисел м, K, K ', или же K ′/K однозначно определяет остальные.

Эти функции появляются в теории Эллиптические функции Якоби; они называются квартальные периоды потому что эллиптические функции ${\displaystyle {\rm {sn}}u\,}$ и ${\displaystyle {\rm {cn}}u\,}$ периодические функции с периодами ${\displaystyle 4K\,}$ и ${\displaystyle 4{\rm {i}}K'\,}$ .

Обозначение

Квартальные периоды по сути эллиптический интеграл первого рода, сделав замену ${\displaystyle k^{2}=m\,}$. В этом случае пишут ${\displaystyle K(k)\,}$ вместо ${\displaystyle K(m)\,}$, понимание разницы между ними в нотации зависит от того, ${\displaystyle k\,}$ или же ${\displaystyle m\,}$ используется. Это различие в обозначениях породило терминологию:

• ${\displaystyle m\,}$ называется параметр
• ${\displaystyle m_{1}=1-m\,}$ называется дополнительный параметр
• ${\displaystyle k\,}$ называется эллиптический модуль
• ${\displaystyle k'\,}$ называется дополнительный эллиптический модуль, куда ${\displaystyle {k'}^{2}=m_{1}\,\!}$
• ${\displaystyle \alpha \,\!}$ в модульный угол, куда ${\displaystyle k=\sin \alpha \,\!}$
• ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\alpha \,\!}$ в дополнительный модульный угол. Обратите внимание, что

${\displaystyle m_{1}=\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\cos ^{2}\alpha .\,\!}$

Эллиптический модуль может быть выражен через периоды четверти как

${\displaystyle k={\textrm {ns}}(K+{\rm {i}}K')\,\!}$

и

${\displaystyle k'={\textrm {dn}}K\,}$

где ns и dn Эллиптические функции Якоби.

В ном ${\displaystyle q\,}$ дан кем-то

${\displaystyle q=e^{-{\frac {\pi K'}{K}}}.\,}$

В дополнительный ном дан кем-то

${\displaystyle q_{1}=e^{-{\frac {\pi K}{K'}}}.\,}$

Реальный период квартала можно выразить как Серия Ламберта с участием нома:

${\displaystyle K={\frac {\pi }{2}}+2\pi \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1+q^{2n}}}.\,}$

Дополнительные расширения и связи можно найти на странице для эллиптические интегралы.

Рекомендации

• Милтон Абрамовиц и Ирен А. Стегун (1964), Справочник по математическим функциям, Dover Publications, Нью-Йорк. ISBN  0-486-61272-4. См. Главы 16 и 17.