Квазианалитическая функция - Quasi-analytic function

В математика, а квазианалитический класс функции является обобщением класса реальных аналитические функции на основании следующего факта: если ж является аналитической функцией на интервале [а,б] ⊂ р, и в какой-то момент ж и все его производные равны нулю, то ж тождественно равен нулю на всех [а,б]. Квазианалитические классы - это более широкие классы функций, для которых это утверждение все еще верно.

Определения

Позволять ${\displaystyle M=\{M_{k}\}_{k=0}^{\infty }}$ - последовательность положительных действительных чисел. Тогда класс функций Данжуа-Карлемана C^M([а,б]) определяется как ж ∈ C^∞([а,б]), которые удовлетворяют

${\displaystyle \left|{\frac {d^{k}f}{dx^{k}}}(x)\right|\leq A^{k+1}k!M_{k}}$

для всех Икс ∈ [а,б], некоторая постоянная А, и все неотрицательные целые числа k. Если M_k = 1 это как раз класс реальных аналитические функции на [а,б].

Класс C^M([а,б]) называется квазианалитический если когда-нибудь ж ∈ C^M([а,б]) и

${\displaystyle {\frac {d^{k}f}{dx^{k}}}(x)=0}$

в какой-то момент Икс ∈ [а,б] и все k, тогда ж тождественно равна нулю.

Функция ж называется квазианалитическая функция если ж находится в некотором квазианалитическом классе.

Квазианалитические функции многих переменных

Для функции ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ и мультииндексы ${\displaystyle j=(j_{1},j_{2},\ldots ,j_{n})\in \mathbb {N} ^{n}}$, обозначим ${\displaystyle |j|=j_{1}+j_{2}+\ldots +j_{n}}$, и

${\displaystyle D^{j}={\frac {\partial ^{j}}{\partial x_{1}^{j_{1}}\partial x_{2}^{j_{2}}\ldots \partial x_{n}^{j_{n}}}}}$

${\displaystyle j!=j_{1}!j_{2}!\ldots j_{n}!}$

и

${\displaystyle x^{j}=x_{1}^{j_{1}}x_{2}^{j_{2}}\ldots x_{n}^{j_{n}}.}$

потом ${\displaystyle f}$ называется квазианалитическим на открытом множестве ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ если для каждого компакта ${\displaystyle K\subset U}$ есть постоянный ${\displaystyle A}$ такой, что

${\displaystyle \left|D^{j}f(x)\right|\leq A^{|j|+1}j!M_{|j|}}$

для всех мультииндексов ${\displaystyle j\in \mathbb {N} ^{n}}$ и все точки ${\displaystyle x\in K}$.

Класс функций Данжуа-Карлемана ${\displaystyle n}$ переменные относительно последовательности ${\displaystyle M}$ на съемочной площадке ${\displaystyle U}$ можно обозначить ${\displaystyle C_{n}^{M}(U)}$, хотя и других обозначений предостаточно.

Класс Данжуа-Карлемана ${\displaystyle C_{n}^{M}(U)}$ называется квазианалитической, когда единственная функция в нем, у которой все частные производные равны нулю в точке, - это функция, тождественно равная нулю.

Функция многих переменных называется квазианалитической, если она принадлежит квазианалитическому классу Данжуа-Карлемана.

Квазианалитические классы относительно логарифмически выпуклых последовательностей

В приведенных выше определениях можно предположить, что ${\displaystyle M_{1}=1}$ и что последовательность ${\displaystyle M_{k}}$ не убывает.

Последовательность ${\displaystyle M_{k}}$ как говорят логарифмически выпуклый, если

${\displaystyle M_{k+1}/M_{k}}$ повышается.

Когда ${\displaystyle M_{k}}$ логарифмически выпукло, то ${\displaystyle (M_{k})^{1/k}}$ увеличивается и

${\displaystyle M_{r}M_{s}\leq M_{r+s}}$ для всех ${\displaystyle (r,s)\in \mathbb {N} ^{2}}$.

Квазианалитический класс ${\displaystyle C_{n}^{M}}$ относительно логарифмически выпуклой последовательности ${\displaystyle M}$ удовлетворяет:

• ${\displaystyle C_{n}^{M}}$ это кольцо. В частности, он закрыт при умножении.
• ${\displaystyle C_{n}^{M}}$ закрыт по составу. В частности, если ${\displaystyle f=(f_{1},f_{2},\ldots f_{p})\in (C_{n}^{M})^{p}}$ и ${\displaystyle g\in C_{p}^{M}}$, тогда ${\displaystyle g\circ f\in C_{n}^{M}}$.

Теорема Данжуа – Карлемана.

Теорема Данжуа – Карлемана, доказанная Карлеман (1926) после Денджой (1921) дал некоторые частичные результаты, дает критерии последовательности M под которым C^M([а,б]) - квазианалитический класс. В нем говорится, что следующие условия эквивалентны:

• C^M([а,б]) квазианалитична.
• ${\displaystyle \sum 1/L_{j}=\infty }$ где ${\displaystyle L_{j}=\inf _{k\geq j}(k\cdot M_{k}^{1/k})}$.
• ${\displaystyle \sum _{j}{\frac {1}{j}}(M_{j}^{*})^{-1/j}=\infty }$, где M_j^* - наибольшая лог-выпуклая последовательность, ограниченная сверху величиной M_j.
• ${\displaystyle \sum _{j}{\frac {M_{j-1}^{*}}{(j+1)M_{j}^{*}}}=\infty .}$

Доказательство эквивалентности двух последних условий второму использует Неравенство Карлемана.

Пример: Денджой (1921) указал, что если M_п задается одной из последовательностей

${\displaystyle 1,\,{(\ln n)}^{n},\,{(\ln n)}^{n}\,{(\ln \ln n)}^{n},\,{(\ln n)}^{n}\,{(\ln \ln n)}^{n}\,{(\ln \ln \ln n)}^{n},\dots ,}$

то соответствующий класс квазианалитичен. Первая последовательность дает аналитические функции.

Дополнительные свойства

Для логарифмически выпуклой последовательности ${\displaystyle M}$ выполняются следующие свойства соответствующего класса функций:

• ${\displaystyle C^{M}}$ содержит аналитические функции, и он равен ей тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \sup _{j\geq 1}(M_{j})^{1/j}<\infty }$
• Если ${\displaystyle N}$ - еще одна логарифмически выпуклая последовательность с ${\displaystyle M_{j}\leq C^{j}N_{j}}$ для некоторой постоянной ${\displaystyle C}$, тогда ${\displaystyle C^{M}\subset C^{N}}$.
• ${\displaystyle C^{M}}$ устойчиво относительно дифференцирования тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \sup _{j\geq 1}(M_{j+1}/M_{j})^{1/j}<\infty }$.
• Для любой бесконечно дифференцируемой функции ${\displaystyle f}$ есть квазианалитические кольца ${\displaystyle C^{M}}$ и ${\displaystyle C^{N}}$ и элементы ${\displaystyle g\in C^{M}}$, и ${\displaystyle h\in C^{N}}$, так что ${\displaystyle f=g+h}$.

Отделение Вейерштрасса

Функция ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ как говорят регулярный заказ ${\displaystyle d}$ относительно ${\displaystyle x_{n}}$ если ${\displaystyle g(0,x_{n})=h(x_{n})x_{n}^{d}}$ и ${\displaystyle h(0)\neq 0}$. Данный ${\displaystyle g}$ регулярный заказ ${\displaystyle d}$ относительно ${\displaystyle x_{n}}$, кольцо ${\displaystyle A_{n}}$ реальных или сложных функций ${\displaystyle n}$ переменные удовлетворяют Деление Вейерштрасса относительно ${\displaystyle g}$ если для каждого ${\displaystyle f\in A_{n}}$ есть ${\displaystyle q\in A}$, и ${\displaystyle h_{1},h_{2},\ldots ,h_{d-1}\in A_{n-1}}$ такой, что

${\displaystyle f=gq+h}$ с участием ${\displaystyle h(x',x_{n})=\sum _{j=0}^{d-1}h_{j}(x')x_{n}^{j}}$.

В то время как кольцо аналитических функций и кольцо формальных степенных рядов удовлетворяют свойству деления Вейерштрасса, это не верно для других квазианалитических классов.

Если ${\displaystyle M}$ логарифмически выпуклая и ${\displaystyle C^{M}}$ не совпадает с классом аналитических функций, то ${\displaystyle C^{M}}$ не удовлетворяет свойству деления Вейерштрасса относительно ${\displaystyle g(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=x_{1}+x_{2}^{2}}$.

использованная литература

• Карлеман, Т. (1926), Les fonctions quasi-analytiques, Готье-Виллар
• Коэн, Пол Дж. (1968), "Простое доказательство теоремы Данжуа-Карлемана", Американский математический ежемесячник, Математическая ассоциация Америки, 75 (1): 26–31, Дои:10.2307/2315100, ISSN  0002-9890, JSTOR  2315100, Г-Н  0225957
• Данжуа, А. (1921), "Sur les fonctions quasi-analytiques de variable réelle", C. R. Acad. Sci. Париж, 173: 1329–1331
• Хёрмандер, Ларс (1990), Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными I, Springer-Verlag, ISBN  3-540-00662-1
• Леонтьев, А.Ф. (2001) [1994], «Квазианалитический класс», Энциклопедия математики, EMS Press
• Соломенцев, Э. (2001) [1994], «Теорема Карлемана», Энциклопедия математики, EMS Press