Квазиоднородный полином - Quasi-homogeneous polynomial

В алгебра, а многомерный полином

${displaystyle f(x)=sum _{alpha }a_{alpha }x^{alpha }{ ext{, where }}alpha =(i_{1},dots ,i_{r})in mathbb {N} ^{r}{ ext{, and }}x^{alpha }=x_{1}^{i_{1}}cdots x_{r}^{i_{r}},}$

является квазиоднородный или же взвешенный однородный, если есть р целые числа ${displaystyle w_{1},ldots ,w_{r}}$, называется веса переменных, так что сумма ${displaystyle w=w_{1}i_{1}+cdots +w_{r}i_{r}}$ одинакова для всех ненулевых членов ж. Эта сумма ш это масса или степень полинома.

Период, термин квазиоднородный происходит из того факта, что многочлен ж квазиоднороден тогда и только тогда, когда

${displaystyle f(lambda ^{w_{1}}x_{1},ldots ,lambda ^{w_{r}}x_{r})=lambda ^{w}f(x_{1},ldots ,x_{r})}$

для каждого ${displaystyle lambda }$ в любом поле, содержащем коэффициенты.

Полином ${displaystyle f(x_{1},ldots ,x_{n})}$ квазиоднородна с весами ${displaystyle w_{1},ldots ,w_{r}}$ если и только если

${displaystyle f(y_{1}^{w_{1}},ldots ,y_{n}^{w_{n}})}$

это однородный многочлен в ${displaystyle y_{i}}$. В частности, однородный многочлен всегда квазиоднороден со всеми весами, равными 1.

Многочлен квазиоднороден тогда и только тогда, когда все ${displaystyle alpha }$ принадлежат к тому же аффинная гиперплоскость. Поскольку Многогранник Ньютона полинома является выпуклый корпус из набора ${displaystyle {alpha |a_{alpha }eq 0},}$ квазиоднородные многочлены также могут быть определены как многочлены, которые имеют вырожденный многогранник Ньютона (здесь «вырожденный» означает «содержащийся в некоторой аффинной гиперплоскости»).

Вступление

Рассмотрим многочлен ${displaystyle f(x,y)=5x^{3}y^{3}+xy^{9}-2y^{12}}$. У этого нет шансов быть однородный многочлен; однако если вместо рассмотрения ${displaystyle f(lambda x,lambda y)}$ мы используем пару ${displaystyle (lambda ^{3},lambda )}$ тестировать однородность, тогда

${displaystyle f(lambda ^{3}x,lambda y)=5(lambda ^{3}x)^{3}(lambda y)^{3}+(lambda ^{3}x)(lambda y)^{9}-2(lambda y)^{12}=lambda ^{12}f(x,y).,}$

Мы говорим что ${displaystyle f(x,y)}$ является квазиоднородным полиномом от тип(3,1), поскольку его три пары (я₁,я₂) показателей (3,3), (1,9) и (0,12) удовлетворяют линейному уравнению ${displaystyle 3i_{1}+1i_{2}=12}$. В частности, это говорит о том, что многогранник Ньютона ${displaystyle f(x,y)}$ лежит в аффинном пространстве с уравнением ${displaystyle 3x+y=12}$ внутри ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$.

Вышеприведенное уравнение эквивалентно этому новому: ${displaystyle { frac {1}{4}}x+{ frac {1}{12}}y=1}$. Некоторые авторы^[1] предпочитают использовать это последнее условие и предпочитают говорить, что наш многочлен квазиоднороден типа (${displaystyle { frac {1}{4}},{ frac {1}{12}}}$).

Как отмечалось выше, однородный многочлен ${displaystyle g(x,y)}$ степени d является квазиоднородным многочленом типа (1,1); в этом случае все его пары показателей будут удовлетворять уравнению ${displaystyle 1i_{1}+1i_{2}=d}$.

Определение

Позволять ${displaystyle f(x)}$ быть полиномом от р переменные ${displaystyle x=x_{1}ldots x_{r}}$ с коэффициентами в коммутативном кольце р. Выразим его в виде конечной суммы

${displaystyle f(x)=sum _{alpha in mathbb {N} ^{r}}a_{alpha }x^{alpha },alpha =(i_{1},ldots ,i_{r}),a_{alpha }in mathbb {R} .}$

Мы говорим что ж является квазиоднородный по типу ${displaystyle varphi =(varphi _{1},ldots ,varphi _{r})}$, ${displaystyle varphi _{i}in mathbb {N} }$ если есть какие-то ${displaystyle ain mathbb {R} }$ такой, что

${displaystyle langle alpha ,varphi angle =sum _{k}^{r}i_{k}varphi _{k}=a,}$

в любое время ${displaystyle a_{alpha }eq 0}$.

Рекомендации

1. Дж. Стинбринк (1977). Compositio Mathematica, том 34, № 2. Noordhoff International Publishing. п. 211 (доступно онлайн на Numdam )