Теорема Райкова - Raikovs theorem - Wikipedia

Теорема Райкова это результат теория вероятности. Как известно, если каждый из двух независимый случайные переменные ξ₁ и ξ₂ имеет распределение Пуассона, то их сумма ξ = ξ₁+ ξ₂ также имеет распределение Пуассона. Оказывается, верно и обратное ^[1][2][3].

Формулировка теоремы

Предположим, что случайная величина ξ имеет распределение Пуассона и допускает разложение в виде суммы ξ = ξ₁+ ξ₂ двух независимых случайных величин. Тогда распределение каждого слагаемого представляет собой смещенное распределение Пуассона.

Комментарий

Теорема Райкова аналогична Теорема Крамера о разложении. Последний результат утверждает, что если сумма двух независимых случайных величин имеет нормальное распределение, то каждое слагаемое также имеет нормальное распределение. Это также было доказано Ю. В. Линник что свертка нормального распределения и распределения Пуассона обладает аналогичным свойством (Теорема Линника [RU ]).

Расширение на локально компактные абелевы группы

Позволять ${\displaystyle X}$ - локально компактная абелева группа. Обозначим через ${\displaystyle M^{1}(X)}$полугруппа свертки вероятностных распределений на ${\displaystyle X}$, и по ${\displaystyle E_{x}}$вырожденное распределение сосредоточено в ${\displaystyle x\in X}$. Позволять ${\displaystyle x_{0}\in X,\lambda >0}$.

Распределение Пуассона, порожденное мерой ${\displaystyle \lambda E_{x_{0}}}$ определяется как сдвинутое распределение вида

${\displaystyle \mu =e(\lambda E_{x_{0}})=e^{-\lambda }(E_{0}+\lambda E_{x_{0}}+\lambda ^{2}E_{2x_{0}}/2!+\ldots +\lambda ^{n}E_{nx_{0}}/n!+\ldots ).}$

У одного есть следующие

Теорема Райкова о локально компактных абелевых группах

Позволять ${\displaystyle \mu }$ - распределение Пуассона, порожденное мерой ${\displaystyle \lambda E_{x_{0}}}$. Предположим, что ${\displaystyle \mu =\mu _{1}*\mu _{2}}$, с ${\displaystyle \mu _{j}\in M^{1}(X)}$. Если ${\displaystyle x_{0}}$ является либо элементом бесконечного порядка, либо имеет порядок 2, то ${\displaystyle \mu _{j}}$ также является распределением Пуассона. В случае ${\displaystyle x_{0}}$ являясь элементом конечного порядка ${\displaystyle n\neq 2}$, ${\displaystyle \mu _{j}}$ может не быть распределением Пуассона.

Рекомендации

1. Д. Райков (1937). «О разложении законов Пуассона». Докл. Акад. Sci. URSS. 14: 9–11.
2. Рухин А. Л. (1970). «Некоторые статистические и вероятностные задачи по группам». Труды Матем. Inst. Стеклова. 111: 52–109.
3. Линник, Ю. В., Островский И. В. (1977). Разложение случайных величин и векторов. Провиденс, Р. И .: Переводы математических монографий, 48. Американское математическое общество.