Обратная симметрия - Reversal symmetry
 | Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. (Ноябрь 2007 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) |
Обратная симметрия это критерий системы голосования который требует, чтобы, если кандидат A является единственным победителем, а индивидуальные предпочтения каждого избирателя инвертированы, то A не должен быть избран. [1]Методы, удовлетворяющие симметрии обращения, включают Граф Борда, то Метод Кемени-Янга, а Метод Шульце. Методы, которые не работают, включают Баклин голосование, мгновенный второй тур голосования и Методы Кондорсе что подводит Критерий проигравшего по Кондорсе Такие как Минимакс.
Для кардинальных систем голосования, которые можно существенно изменить, одобрительное голосование и голосование по диапазону удовлетворяют критерию.
Примеры
Мгновенное голосование
Рассмотрим систему преференций, в которой 11 избирателей выражают свои предпочтения следующим образом:
- 5 голосующих предпочитают A, затем B, затем C
- 4 избирателя предпочитают B, затем C, затем A
- 2 избирателя предпочитают C, затем A, затем B
По счету Борда A получит 23 очка (5 × 3 + 4 × 1 + 2 × 2), B получит 24 очка, а C получит 19 очков, так что будет выбран B. В мгновенном втором туре C выбывает в первом раунде, а A будет избран во втором раунде 7 голосами против 4.
Теперь меняем предпочтения:
- 5 голосующих предпочитают C, затем B, затем A
- 4 избирателя предпочитают A, затем C, затем B
- 2 избирателя предпочитают B, затем A, затем C
По счету Борда A получит 21 балл (5 × 1 + 4 × 3 + 2 × 2), B получит 20 баллов, а C получит 25 баллов, поэтому на этот раз будет избран C. При мгновенном втором туре B будет выброшен в первом туре, а A, как и прежде, будет избран во втором туре, на этот раз 6 голосами против 5.
Решение большинства
Этот пример показывает, что решение большинства нарушает критерий обратной симметрии. Предположим, что два кандидата A и B и 2 голосующих имеют следующие рейтинги:
| Кандидаты / # проголосовавших | А | B |
|---|---|---|
| 1 | Хороший | Справедливый |
| 1 | Бедные | Справедливый |
Теперь определяются победители для обычного и обратного голосования.
Нормальный порядок
Далее определяется победитель Решения большинства для обычных бюллетеней.
| Кандидаты / # проголосовавших | А | B |
|---|---|---|
| 1 | Хороший | Справедливый |
| 1 | Бедные | Справедливый |
Отсортированные рейтинги будут следующими:
| Кандидат |
| |||||||
| А | ||||||||
| B | ||||||||
|
Результат: Среднее значение A находится между «хорошо» и «плохо» и, таким образом, округляется до «плохо». Медиана B - «удовлетворительная». Таким образом, B избран победителем Решения большинства.
Обратный порядок
Далее определяется победитель Решения большинства для отмененных бюллетеней. При реверсировании более высокие рейтинги считаются зеркально инвертированными по отношению к более низким рейтингам («хорошо» заменяется «плохо», «удовлетворительно» остается как есть).
| Кандидаты / # проголосовавших | А | B |
|---|---|---|
| 1 | Бедные | Справедливый |
| 1 | Хороший | Справедливый |
Отсортированные рейтинги будут следующими:
| Кандидат |
| |||||||
| А | ||||||||
| B | ||||||||
|
Результат: Тем не менее, среднее значение A находится между «хорошо» и «плохо» и поэтому округляется до «плохо». Медиана B - «удовлетворительная». Таким образом, B избран победителем Решения большинства по обратным бюллетеням.
Вывод
B является победителем решения большинством голосов, используя обычные бюллетени, а также бюллетени с обратными оценками. Таким образом, решение большинства не соответствует критерию обратной симметрии.
Однако обратите внимание, что использование другого метода округления может предотвратить нарушение симметрии реверсирования. Также обратите внимание, что такая ситуация вряд ли возникнет на практических выборах с большим количеством избирателей, потому что она включает в себя своего рода «ничью» - какой-то кандидат (в данном случае A) получает точно такое же количество голосов выше и ниже определенного значения («справедливо» " в этом случае).
Минимакс
Этот пример показывает, что метод Minimax нарушает критерий инверсной симметрии. Предположим, четыре кандидата A, B, C и D с 14 голосующими со следующими предпочтениями:
| # проголосовавших | Предпочтения |
|---|---|
| 4 | А> В> D> С |
| 4 | В> С> А> D |
| 2 | С> Д> А> В |
| 1 | D> A> B> C |
| 1 | D> B> C> А |
| 2 | D> C> A> B |
Поскольку все предпочтения представляют собой строгое ранжирование (равных нет), все три метода Minimax (выигрыш голосов, маржа и попарно противоположные) выбирают одних и тех же победителей.
Теперь определяются победители в обычном и обратном порядке.
Нормальный порядок
Далее определяется победитель Minimax для бюллетеней в обычном порядке.
| # проголосовавших | Предпочтения |
|---|---|
| 4 | А> В> D> С |
| 4 | В> С> А> D |
| 2 | С> Д> А> В |
| 1 | D> A> B> C |
| 1 | D> B> C> А |
| 2 | D> C> A> B |
Результаты будут представлены в следующей таблице:
| Икс | |||||
| А | B | C | D | ||
| Y | А | [X] 5 [Y] 9 | [X] 9 [Y] 5 | [X] 6 [Y] 8 | |
| B | [X] 9 [Y] 5 | [X] 4 [Y] 10 | [X] 6 [Y] 8 | ||
| C | [X] 5 [Y] 9 | [X] 10 [Y] 4 | [X] 8 [Y] 6 | ||
| D | [X] 8 [Y] 6 | [X] 8 [Y] 6 | [X] 6 [Y] 8 | ||
| Парные результаты выборов (выиграл-ничья-проиграл): | 2-0-1 | 2-0-1 | 1-0-2 | 1-0-2 | |
| худшее попарное поражение (выигрыш голосов): | 9 | 9 | 10 | 8 | |
| худшее попарное поражение (маржа): | 4 | 4 | 6 | 2 | |
| худшее попарное противостояние: | 9 | 9 | 10 | 8 | |
- [X] обозначает избирателей, которые предпочли кандидата, указанного в заголовке столбца, кандидату, указанному в заголовке строки.
- [Y] обозначает избирателей, которые предпочли кандидата, указанного в заголовке строки, кандидату, указанному в заголовке столбца.
Результат: Кандидаты A, B и C образуют цикл с явными поражениями. D извлекает выгоду из этого, поскольку его две потери относительно близки, и поэтому самое крупное поражение D является самым близким из всех кандидатов. Таким образом, D избран победителем Minimax.
Обратный порядок
Далее определяется победитель Minimax для бюллетеней в обратном порядке.
| # проголосовавших | Предпочтения |
|---|---|
| 4 | С> Д> В> А |
| 4 | D> A> C> B |
| 2 | В> А> D> С |
| 1 | С> В> А> D |
| 1 | А> С> В> D |
| 2 | В> А> С> D |
Результаты будут представлены в следующей таблице:
| Икс | |||||
| А | B | C | D | ||
| Y | А | [X] 9 [Y] 5 | [X] 5 [Y] 9 | [X] 8 [Y] 6 | |
| B | [X] 5 [Y] 9 | [X] 10 [Y] 4 | [X] 8 [Y] 6 | ||
| C | [X] 9 [Y] 5 | [X] 4 [Y] 10 | [X] 6 [Y] 8 | ||
| D | [X] 6 [Y] 8 | [X] 6 [Y] 8 | [X] 8 [Y] 6 | ||
| Парные результаты выборов (выиграл-ничья-проиграл): | 1-0-2 | 1-0-2 | 2-0-1 | 2-0-1 | |
| худшее попарное поражение (выигрыш голосов): | 9 | 10 | 9 | 8 | |
| худшее попарное поражение (маржа): | 4 | 6 | 4 | 2 | |
| худшее попарное противостояние: | 9 | 10 | 9 | 8 | |
Результат: Тем не менее, кандидаты A, B и C образуют цикл с явными поражениями, и D получает от этого выгоду. Поэтому самое большое поражение D - это самый близкий из всех кандидатов. Таким образом, D избран победителем Minimax.
Вывод
D - победитель Minimax, использующий обычный порядок предпочтений, а также использующий бюллетени с обратным порядком предпочтений. Таким образом, Minimax не соответствует критерию инверсной симметрии.
Множественное голосование
Этот пример показывает, что голосование по принципу множественности нарушает критерий инверсной симметрии. Допустим, три кандидата A, B и C и 4 голосующих со следующими предпочтениями:
| # проголосовавших | Предпочтения |
|---|---|
| 1 | А> В> С |
| 1 | С> В> А |
| 1 | В> А> С |
| 1 | С> А> В |
Обратите внимание, что переворот всех бюллетеней приводит к тому же набору бюллетеней, поскольку обратный порядок предпочтения первого избирателя напоминает порядок предпочтения второго, а также третьего и четвертого.
Далее определяется победитель по принципу множественности. Множественные бюллетени содержат только одного фаворита:
| # проголосовавших | Любимый |
|---|---|
| 1 | А |
| 1 | B |
| 2 | C |
Результат: Кандидаты A и B получают по 1 голосу каждый, кандидат C получает большинство в 2 голоса (50%). Таким образом, C избран победителем по принципу множественности.
C является победителем по принципу множественности с использованием обычных бюллетеней, а также обратного голосования. Таким образом, множественность не соответствует критерию инверсной симметрии.
Обратите внимание, что каждая система голосования, которая удовлетворяет критерию симметрии реверсирования, должна привести к равенству в этом примере (как и в каждом примере, в котором набор перевернутых бюллетеней такой же, как и набор обычных бюллетеней).
Рекомендации
- ^ "Почему математика?". www.whydomath.org. Получено 2020-08-29.