Непрерывная дробь Роджерса – Рамануджана - Rogers–Ramanujan continued fraction

В Непрерывная дробь Роджерса – Рамануджана это непрерывная дробь обнаружен Роджерс (1894) и независимо Шриниваса Рамануджан, и тесно связан с Роджерс-Рамануджан идентичности. Его можно явно оценить для широкого класса значений его аргумента.

Раскраска домена представление сходящейся ${displaystyle A_{400}(q)/B_{400}(q)}$ функции ${displaystyle q^{-1/5}R(q)}$, где ${displaystyle R(q)}$ - непрерывная дробь Роджерса – Рамануджана.

Определение

Представление приближения ${displaystyle q^{1/5}A_{400}(q)/B_{400}(q)}$ непрерывной фракции Роджерса – Рамануджана.

Учитывая функции г(q) и ЧАС(q), появляющиеся в тождествах Роджерса – Рамануджана,

${displaystyle {egin{aligned}G(q)&=sum _{n=0}^{infty }{frac {q^{n^{2}}}{(1-q)(1-q^{2})cdots (1-q^{n})}}=sum _{n=0}^{infty }{frac {q^{n^{2}}}{(q;q)_{n}}}={frac {1}{(q;q^{5})_{infty }(q^{4};q^{5})_{infty }}}&=prod _{n=1}^{infty }{frac {1}{(1-q^{5n-1})(1-q^{5n-4})}}&={sqrt[{60}]{qj}},_{2}F_{1}left(-{ frac {1}{60}},{ frac {19}{60}};{ frac {4}{5}};{ frac {1728}{j}}ight)&={sqrt[{60}]{qleft(j-1728ight)}},_{2}F_{1}left(-{ frac {1}{60}},{ frac {29}{60}};{ frac {4}{5}};-{ frac {1728}{j-1728}}ight)&=1+q+q^{2}+q^{3}+2q^{4}+2q^{5}+3q^{6}+cdots end{aligned}}}$

и,

${displaystyle {egin{aligned}H(q)&=sum _{n=0}^{infty }{frac {q^{n^{2}+n}}{(1-q)(1-q^{2})cdots (1-q^{n})}}=sum _{n=0}^{infty }{frac {q^{n^{2}+n}}{(q;q)_{n}}}={frac {1}{(q^{2};q^{5})_{infty }(q^{3};q^{5})_{infty }}}&=prod _{n=1}^{infty }{frac {1}{(1-q^{5n-2})(1-q^{5n-3})}}&={frac {1}{sqrt[{60}]{q^{11}j^{11}}}},_{2}F_{1}left({ frac {11}{60}},{ frac {31}{60}};{ frac {6}{5}};{ frac {1728}{j}}ight)&={frac {1}{sqrt[{60}]{q^{11}left(j-1728ight)^{11}}}},_{2}F_{1}left({ frac {11}{60}},{ frac {41}{60}};{ frac {6}{5}};-{ frac {1728}{j-1728}}ight)&=1+q^{2}+q^{3}+q^{4}+q^{5}+2q^{6}+2q^{7}+cdots end{aligned}}}$

OEIS: A003114 и OEIS: A003106соответственно, где ${displaystyle (a;q)_{infty }}$ обозначает бесконечный символ q-Pochhammer, j это j-функция, и ₂F₁ это гипергеометрическая функция, то непрерывная дробь Роджерса – Рамануджана равна,

${displaystyle {egin{aligned}R(q)&={frac {q^{frac {11}{60}}H(q)}{q^{-{frac {1}{60}}}G(q)}}=q^{frac {1}{5}}prod _{n=1}^{infty }{frac {(1-q^{5n-1})(1-q^{5n-4})}{(1-q^{5n-2})(1-q^{5n-3})}}&={cfrac {q^{1/5}}{1+{cfrac {q}{1+{cfrac {q^{2}}{1+{cfrac {q^{3}}{1+ddots }}}}}}}}end{aligned}}}$

Модульные функции

Если ${displaystyle q=e^{2pi {m {i}} au }}$, тогда ${displaystyle q^{-{frac {1}{60}}}G(q)}$ и ${displaystyle q^{frac {11}{60}}H(q)}$, а также их частное ${displaystyle R(q)}$, находятся модульные функции из ${displaystyle au }$. Поскольку они имеют целые коэффициенты, теория комплексное умножение означает, что их значения для ${displaystyle au }$ мнимые квадратичные иррациональные алгебраические числа которые можно оценить явно.

Примеры

${displaystyle R{ig (}e^{-2pi }{ig )}={cfrac {e^{-{frac {2pi }{5}}}}{1+{cfrac {e^{-2pi }}{1+{cfrac {e^{-4pi }}{1+ddots }}}}}}={{sqrt {5+{sqrt {5}} over 2}}-phi }}$

${displaystyle R{ig (}e^{-2{sqrt {5}}pi }{ig )}={cfrac {e^{-{frac {2pi }{sqrt {5}}}}}{1+{cfrac {e^{-2pi {sqrt {5}}}}{1+{cfrac {e^{-4pi {sqrt {5}}}}{1+ddots }}}}}}={frac {sqrt {5}}{1+{ig (}5^{3/4}(phi -1)^{5/2}-1{ig )}^{1/5}}}-{phi }}$

где ${displaystyle phi ={frac {1+{sqrt {5}}}{2}}}$ это Золотое сечение.

Отношение к модульным формам

Это может быть связано с Функция Дедекинда эта, а модульная форма веса 1/2, так как,^[1]

${displaystyle {frac {1}{R(q)}}-R(q)={frac {eta ({frac { au }{5}})}{eta (5 au )}}+1}$

${displaystyle {frac {1}{R^{5}(q)}}-R^{5}(q)=left[{frac {eta ( au )}{eta (5 au )}}ight]^{6}+11}$

Отношение к j-функции

Среди множества формул j-функция, один,

${displaystyle j( au )={frac {(x^{2}+10x+5)^{3}}{x}}}$

где

${displaystyle x=left[{frac {{sqrt {5}},eta (5 au )}{eta ( au )}}ight]^{6}}$

Исключив частное эта, можно выразить j(τ) с точки зрения ${displaystyle r=R(q)}$ так как,

${displaystyle {egin{aligned}&j( au )=-{frac {(r^{20}-228r^{15}+494r^{10}+228r^{5}+1)^{3}}{r^{5}(r^{10}+11r^{5}-1)^{5}}}[6pt]&j( au )-1728=-{frac {(r^{30}+522r^{25}-10005r^{20}-10005r^{10}-522r^{5}+1)^{2}}{r^{5}(r^{10}+11r^{5}-1)^{5}}}end{aligned}}}$

где числитель и знаменатель являются полиномиальными инвариантами икосаэдр. Используя модульное уравнение между ${displaystyle R(q)}$ и ${displaystyle R(q^{5})}$, обнаруживается, что,

${displaystyle j(5 au )=-{frac {(r^{20}+12r^{15}+14r^{10}-12r^{5}+1)^{3}}{r^{25}(r^{10}+11r^{5}-1)}}}$

позволять ${displaystyle z=r^{5}-{frac {1}{r^{5}}}}$,тогда${displaystyle j(5 au )=-{frac {left(z^{2}+12z+16ight)^{3}}{z+11}}}$

где

${displaystyle {egin{aligned}&z_{infty }=-left[{frac {{sqrt {5}},eta (25 au )}{eta (5 au )}}ight]^{6}-11, z_{0}=-left[{frac {eta ( au )}{eta (5 au )}}ight]^{6}-11, z_{1}=left[{frac {eta ({frac {5 au +2}{5}})}{eta (5 au )}}ight]^{6}-11,[6pt]&z_{2}=-left[{frac {eta ({frac {5 au +4}{5}})}{eta (5 au )}}ight]^{6}-11, z_{3}=left[{frac {eta ({frac {5 au +6}{5}})}{eta (5 au )}}ight]^{6}-11, z_{4}=-left[{frac {eta ({frac {5 au +8}{5}})}{eta (5 au )}}ight]^{6}-11end{aligned}}}$

который на самом деле является j-инвариантом эллиптическая кривая,

${displaystyle y^{2}+(1+r^{5})xy+r^{5}y=x^{3}+r^{5}x^{2}}$

параметризованный точками непереброса модульная кривая ${displaystyle X_{1}(5)}$.

Функциональное уравнение

Для удобства можно также использовать обозначение ${displaystyle r( au )=R(q)}$ когда q = e^2πiτ. В то время как другие модульные функции, такие как j-инвариант, удовлетворяют,

${displaystyle j(-{ frac {1}{ au }})=j( au )}$

и эта функция Дедекинда имеет,

${displaystyle eta (-{ frac {1}{ au }})={sqrt {-i au }},eta ( au )}$

то функциональное уравнение непрерывной фракции Роджерса – Рамануджана включает^[2] то Золотое сечение ${displaystyle phi }$,

${displaystyle r(-{ frac {1}{ au }})={frac {1-phi ,r( au )}{phi +r( au )}}}$

Кстати,

${displaystyle r({ frac {7+i}{10}})=i}$

Модульные уравнения

Есть модульные уравнения между ${displaystyle R(q)}$ и ${displaystyle R(q^{n})}$. Элегантные для маленьких премьер п являются следующими.^[3]

Для ${displaystyle n=2}$, позволять ${displaystyle u=R(q)}$ и ${displaystyle v=R(q^{2})}$, тогда ${displaystyle v-u^{2}=(v+u^{2})uv^{2}.}$

Для ${displaystyle n=3}$, позволять ${displaystyle u=R(q)}$ и ${displaystyle v=R(q^{3})}$, тогда ${displaystyle (v-u^{3})(1+uv^{3})=3u^{2}v^{2}.}$

Для ${displaystyle n=5}$, позволять ${displaystyle u=R(q)}$ и ${displaystyle v=R(q^{5})}$, тогда ${displaystyle (v^{4}-3v^{3}+4v^{2}-2v+1)v=(v^{4}+2v^{3}+4v^{2}+3v+1)u^{5}.}$

Для ${displaystyle n=11}$, позволять ${displaystyle u=R(q)}$ и ${displaystyle v=R(q^{11})}$, тогда ${displaystyle uv(u^{10}+11u^{5}-1)(v^{10}+11v^{5}-1)=(u-v)^{12}.}$

Что касается ${displaystyle n=5}$, Обратите внимание, что

${displaystyle v^{10}+11v^{5}-1=(v^{2}+v-1)(v^{4}-3v^{3}+4v^{2}-2v+1)(v^{4}+2v^{3}+4v^{2}+3v+1).}$

Другие результаты

Рамануджан обнаружил много других интересных результатов, касающихся р(q).^[4] Позволять ${displaystyle u=R(q^{a})}$, ${displaystyle v=R(q^{b})}$, и ${displaystyle phi }$ как Золотое сечение.

Если ${displaystyle ab=4pi ^{2}}$, тогда ${displaystyle (u+phi )(v+phi )={sqrt {5}},phi .}$

Если ${displaystyle 5ab=4pi ^{2}}$, тогда ${displaystyle (u^{5}+phi ^{5})(v^{5}+phi ^{5})=5{sqrt {5}},phi ^{5}.}$

Полномочия р(q) также могут быть выражены необычными способами. Для своего куб,

${displaystyle R^{3}(q)={frac {alpha }{eta }}}$

где,

${displaystyle alpha =sum _{n=0}^{infty }{frac {q^{2n}}{1-q^{5n+2}}}-sum _{n=0}^{infty }{frac {q^{3n+1}}{1-q^{5n+3}}}}$

${displaystyle eta =sum _{n=0}^{infty }{frac {q^{n}}{1-q^{5n+1}}}-sum _{n=0}^{infty }{frac {q^{4n+3}}{1-q^{5n+4}}}}$

Для его пятой степени пусть ${displaystyle w=R(q)R^{2}(q^{2})}$, тогда,

${displaystyle R^{5}(q)=wleft({frac {1-w}{1+w}}ight)^{2},;;R^{5}(q^{2})=w^{2}left({frac {1+w}{1-w}}ight)}$

использованная литература

1. Дюк, В. "Непрерывные дроби и модульные функции", https://www.math.ucla.edu/~wdduke/preprints/bams4.pdf
2. Дюк, В. «Непрерывные дроби и модульные функции» (стр.9)
3. Berndt, B. et al. "Непрерывная дробь Роджерса – Рамануджана", http://www.math.uiuc.edu/~berndt/articles/rrcf.pdf
4. Berndt, B. et al. "Непрерывная дробь Роджерса-Рамануджана"

• Роджерс, Л. Дж. (1894), «Второй мемуар о расширении некоторых бесконечных продуктов», Proc. Лондонская математика. Soc., s1-25 (1): 318–343, Дои:10.1112 / плмс / с1-25.1.318
• Berndt, B.C .; Chan, H.H .; Huang, S. S .; Kang, S. Y .; Sohn, J .; Сын, С. Х. (1999), "Непрерывная фракция Роджерса-Рамануджана" (PDF), Журнал вычислительной и прикладной математики, 105 (1–2): 9–24, Дои:10.1016 / S0377-0427 (99) 00033-3

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. "Роджерс-Рамануджан идентичности". MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. «Непрерывная дробь Роджерса-Рамануджана». MathWorld.