Эквивалентность строк - Row equivalence

В линейная алгебра, два матрицы находятся эквивалент строки если один может быть заменен другим последовательностью элементарные операции со строками. В качестве альтернативы два м × п матрицы эквивалентны строкам тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые пространство строки. Эта концепция чаще всего применяется к матрицам, которые представляют системы линейных уравнений, и в этом случае две матрицы одинакового размера эквивалентны строкам тогда и только тогда, когда соответствующие однородный системы имеют одинаковый набор решений, или, что то же самое, матрицы имеют одинаковые пустое пространство.

Поскольку элементарные операции со строками обратимы, эквивалентность строк является отношение эквивалентности. Обычно его обозначают тильда (~).^{[нужна цитата ]}

Есть аналогичное понятие эквивалентность столбцов, определяемые элементарными операциями с столбцами; две матрицы эквивалентны столбцам тогда и только тогда, когда их транспонированные матрицы эквивалентны строкам. Две прямоугольные матрицы, которые могут быть преобразованы друг в друга, позволяющие выполнять операции с элементарными строками и столбцами, называются просто эквивалент.

Элементарные операции со строками

An операция элементарной строки это любой из следующих ходов:

Своп: Поменять местами две строки матрицы.
Масштаб: Умножьте строку матрицы на ненулевую константу.
Поворот: Добавьте одну строку матрицы, кратную одной, к другой строке.

Две матрицы А и B находятся эквивалент строки если возможно преобразовать А в B последовательностью элементарных операций со строками.

Место в строке

Строчное пространство матрицы - это набор всех возможных линейные комбинации векторов-строк. Если строки матрицы представляют собой система линейных уравнений, то пространство строк состоит из всех линейных уравнений, которые могут быть выведены алгебраически из уравнений системы. Два м × п матрицы эквивалентны строкам тогда и только тогда, когда они имеют одинаковое пространство строк.

Например, матрицы

{displaystyle {egin {pmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1end {pmatrix}} ;;;; {ext {and}} ;;;; {egin {pmatrix} 1 & 0 & 0 1 & 1 & 1end {pmatrix}}}

эквивалентны строкам, причем пространство строк - это все векторы вида ${displaystyle {egin {pmatrix} a & b & bend {pmatrix}}}$ . Соответствующие системы однородных уравнений несут ту же информацию:

{displaystyle {egin {matrix} x = 0 y + z = 0end {matrix}} ;;;; {ext {and}} ;;;; {egin {matrix} x = 0 x + y + z = 0 .end {матрица}}}

В частности, из обеих этих систем следует каждое уравнение вида ${displaystyle ax + by + bz = 0.,}$

Эквивалентность определений

Тот факт, что две матрицы эквивалентны по строкам тогда и только тогда, когда они имеют одинаковое пространство строк, является важной теоремой линейной алгебры. Доказательство основано на следующих наблюдениях:

Элементарные операции со строками не влияют на пространство строк матрицы. В частности, любые две эквивалентные по строкам матрицы имеют одинаковое пространство строк.
Любая матрица может быть уменьшенный элементарными операциями со строками в матрицу в сокращенная форма эшелона строки.
Две матрицы в форме сокращенного эшелона строк имеют одинаковое пространство строк тогда и только тогда, когда они равны.

Это рассуждение также доказывает, что каждая матрица эквивалентна по строке уникальной матрице с уменьшенной формой эшелона строк.

Дополнительные свойства

Поскольку пустое пространство матрицы - это ортогональное дополнение из пространство строки, две матрицы эквивалентны строкам тогда и только тогда, когда они имеют одно и то же пустое пространство.
В ранг матрицы равна измерение пространства строк, поэтому эквивалентные по строкам матрицы должны иметь одинаковый ранг. Это равно количеству повороты в виде пониженного ряда.
Матрица обратимый тогда и только тогда, когда это строка эквивалентна единичная матрица.
Матрицы А и B эквивалентны строкам тогда и только тогда, когда существует обратимая матрица п такой, что A = PB.^[1]

Смотрите также

использованная литература

^ Роман 2008, п. 9, Пример 0.3

Акслер, Шелдон Джей (1997), Линейная алгебра сделано правильно (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0
Лэй, Дэвид К. (22 августа 2005 г.), Линейная алгебра и ее приложения (3-е изд.), Эддисон Уэсли, ISBN 978-0-321-28713-7
Мейер, Карл Д. (15 февраля 2001 г.), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра, Общество промышленной и прикладной математики (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, заархивировано из оригинал 1 марта 2001 г.
Пул, Дэвид (2006), Линейная алгебра: современное введение (2-е изд.), Брукс / Коул, ISBN 0-534-99845-3
Антон, Ховард (2005), Элементарная линейная алгебра (прикладная версия) (9-е изд.), Wiley International
Леон, Стивен Дж. (2006), Линейная алгебра с приложениями (7-е изд.), Pearson Prentice Hall
Роман, Стивен (2008). Продвинутая линейная алгебра. Тексты для выпускников по математике. 135 (3-е изд.). Springer Science + Business Media, LLC. ISBN 978-0-387-72828-5.

внешние ссылки

[1] Роман 2008, п. 9, Пример 0.3

[1]