Метод Рунге – Кутта (SDE) - Runge–Kutta method (SDE)

В математика стохастических систем Метод Рунге – Кутты метод приблизительного численное решение из стохастическое дифференциальное уравнение. Это обобщение Метод Рунге – Кутты за обыкновенные дифференциальные уравнения к стохастическим дифференциальным уравнениям (СДУ). Важно отметить, что метод не требует знания производных от коэффициентных функций в SDE.

Самая основная схема

Рассмотрим It распространение ${displaystyle X}$ удовлетворяющее следующему стохастическому дифференциальному уравнению Ито

${displaystyle {{d}X_{t}}=a(X_{t}),{d}t+b(X_{t}),{d}W_{t},}$

с начальное состояние ${displaystyle X_{0}=x_{0}}$, куда ${displaystyle W_{t}}$ стоит за Винеровский процесс, и предположим, что мы хотим решить эту СДУ на некотором интервале времени ${displaystyle [0,T]}$. Тогда основные Приближение Рунге – Кутты к истинному решению ${displaystyle X}$ это Цепь Маркова ${displaystyle Y}$ определяется следующим образом:^[1]

• разделить интервал ${displaystyle [0,T]}$ в ${displaystyle N}$ подынтервалы ширины ${displaystyle delta =T/N>0}$:

${displaystyle 0= au _{0}< au _{1}<dots < au _{N}=T;}$

• набор ${displaystyle Y_{0}:=x_{0}}$;
• рекурсивно вычислить ${displaystyle Y_{n}}$ за ${displaystyle 1leq nleq N}$ к

${displaystyle Y_{n+1}:=Y_{n}+a(Y_{n})delta +b(Y_{n})Delta W_{n}+{frac {1}{2}}left(b({hat {Upsilon }}_{n})-b(Y_{n})ight)left((Delta W_{n})^{2}-delta ight)delta ^{-1/2},}$

куда ${displaystyle Delta W_{n}=W_{ au _{n+1}}-W_{ au _{n}}}$и ${displaystyle {hat {Upsilon }}_{n}=Y_{n}+a(Y_{n})delta +b(Y_{n})delta ^{1/2}.}$В случайные переменные ${displaystyle Delta W_{n}}$ находятся независимые и одинаково распределенные нормальные случайные величины с ожидаемое значение ноль и отклонение ${displaystyle delta }$.

Эта схема имеет строгий порядок 1, что означает, что ошибка аппроксимации фактического решения в фиксированных масштабах времени с шагом по времени ${displaystyle delta }$. Он также имеет слабый порядок 1, что означает, что ошибка в статистике решения масштабируется с шагом по времени. ${displaystyle delta }$. См. Ссылки для получения полных и точных заявлений.

Функции ${displaystyle a}$ и ${displaystyle b}$ может изменяться во времени без каких-либо осложнений. Метод может быть обобщен на случай нескольких связанных уравнений; принцип тот же, но уравнения становятся длиннее.

Вариация улучшенного Эйлера гибка

Более новая схема Рунге-Кутты, также сильного порядка 1, напрямую сводится к улучшенной схеме Эйлера для детерминированных ОДУ.^[2] Рассмотрим векторный случайный процесс ${displaystyle {vec {X}}(t)in mathbb {R} ^{n}}$ который удовлетворяет общей Ито SDE

${displaystyle d{vec {X}}={vec {a}}(t,{vec {X}}),dt+{vec {b}}(t,{vec {X}}),dW,}$

где дрейфовать ${displaystyle {vec {a}}}$ и волатильность ${displaystyle {vec {b}}}$ являются достаточно гладкими функциями своих аргументов. ${displaystyle h}$, и учитывая значение ${displaystyle {vec {X}}(t_{k})={vec {X}}_{k}}$, оценивать ${displaystyle {vec {X}}(t_{k+1})}$ к ${displaystyle {vec {X}}_{k+1}}$ На время ${displaystyle t_{k+1}=t_{k}+h}$ через

${displaystyle {egin{array}{rl}&{vec {K}}_{1}=h{vec {a}}(t_{k},{vec {X}}_{k})+(Delta W_{k}-S_{k}{sqrt {h}}){vec {b}}(t_{k},{vec {X}}_{k}),&{vec {K}}_{2}=h{vec {a}}(t_{k+1},{vec {X}}_{k}+{vec {K}}_{1})+(Delta W_{k}+S_{k}{sqrt {h}}){vec {b}}(t_{k+1},{vec {X}}_{k}+{vec {K}}_{1}),&{vec {X}}_{k+1}={vec {X}}_{k}+{frac {1}{2}}({vec {K}}_{1}+{vec {K}}_{2}),end{array}}}$

• куда ${displaystyle Delta W_{k}={sqrt {h}}Z_{k}}$ для нормального случайного ${displaystyle Z_{k}sim N(0,1)}$;
• и где ${displaystyle S_{k}=pm 1}$, каждая альтернатива, выбранная с вероятностью ${displaystyle 1/2}$.

Выше описан только один временной шаг. Повторите этот временной шаг. ${displaystyle (t_{m}-t_{0})/h}$ раз, чтобы интегрировать SDE время от времени ${displaystyle t=t_{0}}$ к ${displaystyle t=t_{m}}$.

Схема интегрирует СДУ Стратоновича в ${displaystyle O(h)}$ предоставил один комплект ${displaystyle S_{k}=0}$ повсюду (вместо того, чтобы выбирать ${displaystyle pm 1}$).

Схемы Рунге-Кутты высшего порядка

Схемы более высокого порядка также существуют, но становятся все более сложными. Рёсслер разработал множество схем для Ито СДУ,^[3][4]тогда как Комори разработал схемы ДЗО Стратоновича.^[5][6][7] Ракаукас расширил эти схемы, чтобы обеспечить возможность пошагового изменения времени с помощью отбраковки выборки с памятью (RSwM), что привело к увеличению эффективности практических биологических моделей на несколько порядков.^[8], наряду с оптимизацией коэффициентов для повышения стабильности^[9].

Рекомендации

1. П. Э. Клёден и Э. Платен. Численное решение стохастических дифференциальных уравнений, том 23 приложений математики. Спрингер - Верлаг, 1992.
2. А. Дж. Робертс. Измените улучшенную схему Эйлера, чтобы интегрировать стохастические дифференциальные уравнения. [1], Октябрь 2012 г.
3. Рёсслер, А. (2009). "Методы Рунге – Кутты второго порядка для стохастических дифференциальных уравнений Ито". Журнал SIAM по численному анализу. 47 (3): 1713–1738. Дои:10.1137/060673308.
4. Рёсслер, А. (2010). «Методы Рунге – Кутты для сильной аппроксимации решений стохастических дифференциальных уравнений». Журнал SIAM по численному анализу. 48 (3): 922–952. Дои:10.1137 / 09076636X.
5. Комори, Ю. (2007). «Анализ разноцветного корневого дерева условий слабого порядка стохастической семьи Рунге – Кутты». Прикладная вычислительная математика. 57 (2): 147–165. Дои:10.1016 / j.apnum.2006.02.002.
6. Комори, Ю. (2007). "Стохастические методы Рунге – Кутты слабого порядка для коммутативных стохастических дифференциальных уравнений". Журнал вычислительной и прикладной математики. 203: 57–79. Дои:10.1016 / j.cam.2006.03.010.
7. Комори, Ю. (2007). "Слабые стохастические методы Рунге – Кутты второго порядка для некоммутативных стохастических дифференциальных уравнений". Журнал вычислительной и прикладной математики. 206: 158–173. Дои:10.1016 / j.cam.2006.06.006.
8. Rackauckas, Christopher; Не, Цин (2017). «АДАПТИВНЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НА ОСНОВЕ ЕСТЕСТВЕННЫХ ВЛОЖЕНИЙ И ОТРАЖЕНИЯ ВЫБОРКИ С ПАМЯТЬЮ». Дискретные и непрерывные динамические системы - серия B. 22 (7): 2731–2761. Дои:10.3934 / dcdsb.2017133.
9. Rackauckas, Christopher; Не, Цин (2018). «Оптимизированные для устойчивости методы высокого порядка и определение жесткости для линейных жестких стохастических дифференциальных уравнений». arXiv:1804.04344.