Пара Руфь-Аарон - Ruth–Aaron pair

В математика, а Пара Руфь-Аарон состоит из двух последовательный целые числа (например, 714 и 715), для которых суммы главные факторы каждого целое число равны:

714 = 2 × 3 × 7 × 17,

715 = 5 × 11 × 13,

и

2 + 3 + 7 + 17 = 5 + 11 + 13 = 29.

Существуют разные варианты определения, в зависимости от того, сколько раз подсчитывать простые числа, которые встречаются несколько раз в факторизации.

Имя было дано Карл Померанс за Бэйби Рут и Хэнк Аарон, как карьера Рут регулярный сезон домой бежать общее количество было 714, рекорд, который Аарон затмил 8 апреля 1974 года, когда он сделал свой 715-й хоумран в карьере. Померанс был математик на Университет Джорджии в то время как Аарон (член ближайшего Атланта Брэйвс ) побил рекорд Рут, и ученик одного из коллег Померанса заметил, что суммы простых множителей 714 и 715 равны.^[1]

Примеры

Если бы только отличные основной факторы подсчитываются первые несколько пар Руфь-Аарон:

(5, 6 ), (24, 25 ), (49, 50 ), (77, 78 ), (104, 105 ), (153, 154 ), (369, 370), (492, 493), (714, 715), (1682, 1683), (2107, 2108)

(Меньшее из каждой пары указано в OEIS: A006145).

Подсчитывая повторяющиеся простые множители (например, 8 = 2 × 2 × 2 и 9 = 3 × 3 с 2 + 2 + 2 = 3 + 3), первые несколько пар Руфь – Аарон:

(5, 6 ), (8, 9 ), (15, 16 ), (77, 78), (125, 126 ), (714, 715), (948, 949), (1330, 1331)

(Меньшее из каждой пары указано в OEIS: A039752).

Пересечение двух списков начинается:

(5, 6), (77, 78), (714, 715), (5405, 5406).

(Меньшее из каждой пары указано в OEIS: A039753).

Любая пара Рут – Аарон целые числа без квадратов принадлежит обоим спискам с одинаковой суммой простых множителей. Пересечение также содержит пары, которые не являются свободными от квадратов, например (7129199, 7129200) = (7 × 11²×19×443, 2⁴×3×5²× 13 × 457). Здесь 7 + 11 + 19 + 443 = 2 + 3 + 5 + 13 + 457 = 480, а также 7 + 11 + 11 + 19 + 443 = 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 5 + 5 + 13 + 457. = 491.

Плотность

Пары Руфь-Аарон редкие (то есть их плотность равна 0). Об этом предположили Нельсон и др. в 1974 г.^[2] и доказано в 1978 году Эрдёшем и Померанс.^[3]

Тройняшки Рут – Аарона

Тройняшки Рут – Аарона (перекрывающиеся пары Рут – Аарон) также существуют. Первое и, возможно, второе при подсчете различных простых множителей:

89460294 = 2 × 3 × 7 × 11 × 23 × 8419,

89460295 = 5 × 4201 × 4259,

89460296 = 2 × 2 × 2 × 31 × 43 × 8389,

и 2 + 3 + 7 + 11 + 23 + 8419 = 5 + 4201 + 4259 = 2 + 31 + 43 + 8389 = 8465.

151165960539 = 3 × 11 × 11 × 83 × 2081 × 2411,

151165960540 = 2 × 2 × 5 × 7 × 293 × 1193 × 3089,

151165960541 = 23 × 29 × 157 × 359 × 4021,

и 3 + 11 + 83 + 2081 + 2411 = 2 + 5 + 7 + 293 + 1193 + 3089 = 23 + 29 + 157 + 359 + 4021 = 4589.

Первые две тройки Рут – Аарона при подсчете повторяющихся простых множителей:

417162 = 2 × 3 × 251 × 277,

417163 = 17 × 53 × 463,

417164 = 2 × 2 × 11 × 19 × 499,

и 2 + 3 + 251 + 277 = 17 + 53 + 463 = 2 + 2 + 11 + 19 + 499 = 533.

6913943284 = 2 × 2 × 37 × 89 × 101 × 5197,

6913943285 = 5 × 283 × 1259 × 3881,

6913943286 = 2 × 3 × 167 × 2549 × 2707,

и 2 + 2 + 37 + 89 + 101 + 5197 = 5 + 283 + 1259 + 3881 = 2 + 3 + 167 + 2549 + 2707 = 5428.

По состоянию на 2006 г.^{[Обновить]} известны только 4 вышеуказанных тройни.^{[нужна цитата ]}

Смотрите также

Пара Марис – МакГвайр – Соса

внешняя ссылка

Вайсштейн, Эрик В. "Пара Руфь-Аарон". MathWorld.
"Тройняшки Рут – Аарон" и «Еще раз о парах Рут – Аарон». Соединение основных головоломок и проблем. Проверено 9 ноября 2006 года.

[1] Числа Аарона - Numberphile

[2] Nelson, C .; Penney, D.E .; и Померанс, К. «714 и 715». J. Recr. Математика. 7, 87-89, 1974.

[3] Эрдеш П. и Померанс К. «О наибольших основных факторах n и n + 1». Aequationes Mathematicae 17, 311-321, 1978.

[1]

[2]

[3]