Лемма Шеффеса - Scheffés lemma - Wikipedia

В математике Лемма Шеффе это предложение в теория меры касательно конвергенция последовательностей интегрируемые функции. В нем говорится, что если ${\displaystyle f_{n}}$ представляет собой последовательность интегрируемых функций на измерить пространство ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ который сходится почти везде к другой интегрируемой функции ${\displaystyle f}$, тогда ${\displaystyle \int |f_{n}-f|\,d\mu \to 0}$ если и только если ${\displaystyle \int |f_{n}|\,d\mu \to \int |f|\,d\mu }$.^[1]

Приложения

Применительно к теория вероятности, Из теоремы Шеффе в изложенной здесь форме следует, что почти всюду поточечная сходимость функции плотности вероятности последовательности ${\displaystyle \mu }$-абсолютно непрерывный случайные переменные подразумевает конвергенция в распределении этих случайных величин.

История

Генри Шеффе опубликовал доказательство утверждения о сходимости плотностей вероятностей в 1947 г.^[2]. Результат является частным случаем теоремы Фриджес Рис о сближении L^п пробелы опубликовано в 1928 году.^[3]

Рекомендации

1. Дэвид Уильямс (1991). Вероятность с мартингейлами. Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. п.55.
2. Шеффе, Генри (сентябрь 1947 г.). «Полезная теорема сходимости для распределений вероятностей». Анналы математической статистики. 18 (3): 434–438. Дои:10.1214 / aoms / 1177730390.
3. Норберт Кусолич (сентябрь 2010 г.). «Почему теорему Шеффе лучше называть теоремой Рисса». Periodica Mathematica Hungarica. 61 (1–2): 225–229. CiteSeerX  10.1.1.537.853. Дои:10.1007 / s10998-010-3225-6.