Теорема шильдерса - Schilders theorem - Wikipedia

В математика, Теорема шильдера это результат теория больших отклонений из случайные процессы. Грубо говоря, теорема Шильдера дает оценку вероятности того, что (уменьшенный) путь выборки Броуновское движение отклонится далеко от среднего пути (который постоянен при значении 0). Это заявление уточняется с помощью функции оценки. Теорема Шильдера обобщается Теорема Фрейдлина – Вентцелля. за Itō диффузии.

Заявление

Позволять B стандартное броуновское движение в d-размерный Евклидово пространство р^d начиная с начала координат, 0 ∈р^d; позволять W обозначить закон из B, т.е. классический Мера Винера. За ε > 0, пусть W_ε обозначают закон масштабируемого процесса √εB. Затем на Банахово пространство C₀ = C₀([0, Т]; р^d) непрерывных функций ${\displaystyle f:[0,T]\longrightarrow \mathbf {R} ^{d}}$ такой, что ${\displaystyle f(0)=0}$, оснащенный верхняя норма ||·||_∞, то вероятностные меры W_ε удовлетворяют принципу больших отклонений с хорошей функцией скорости я : C₀ → р ∪ {+ ∞}, задаваемое формулой

${\displaystyle I(\omega )={\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}|{\dot {\omega }}(t)|^{2}\,\mathrm {d} t}$

если ω является абсолютно непрерывный, и я(ω) = + ∞ в противном случае. Другими словами, для каждого открытый набор грамм ⊆ C₀ и каждый закрытый набор F ⊆ C₀,

${\displaystyle \limsup _{\varepsilon \downarrow 0}\varepsilon \log \mathbf {W} _{\varepsilon }(F)\leq -\inf _{\omega \in F}I(\omega )}$

и

${\displaystyle \liminf _{\varepsilon \downarrow 0}\varepsilon \log \mathbf {W} _{\varepsilon }(G)\geq -\inf _{\omega \in G}I(\omega ).}$

Пример

Принимая ε = 1/c², можно использовать теорему Шильдера для получения оценок вероятности того, что стандартное броуновское движение B отклоняется дальше, чем c от начальной точки за интервал времени [0,Т], т.е. вероятность

${\displaystyle \mathbf {W} (C_{0}\smallsetminus \mathbf {B} _{c}(0;\|\cdot \|_{\infty }))\equiv \mathbf {P} {\big [}\|B\|_{\infty }>c{\big ]},}$

в качестве c стремится к бесконечности. Здесь B_c(0; ||·||_∞) обозначает открытый мяч радиуса c о нулевой функции в C₀, взятые с учетом верхняя норма. Сначала обратите внимание, что

${\displaystyle \|B\|_{\infty }>c\iff {\sqrt {\varepsilon }}B\in A:=\left\{\omega \in C_{0}\mid |\omega (t)|>1{\text{ for some }}t\in [0,T]\right\}.}$

Поскольку функция скорости непрерывна на А, Теорема Шильдера дает

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{c\to \infty }{\frac {\log \left(\mathbf {P} \left[\|B\|_{\infty }>c\right]\right)}{c^{2}}}&=\lim _{\varepsilon \to 0}\varepsilon \log \left(\mathbf {P} \left[{\sqrt {\varepsilon }}B\in A\right]\right)\\[6pt]&=-\inf \left\{\left.{\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}|{\dot {\omega }}(t)|^{2}\,\mathrm {d} t\,\right|\,\omega \in A\right\}\\[6pt]&=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}{\frac {1}{T^{2}}}\,\mathrm {d} t\\[6pt]&=-{\frac {1}{2T}},\end{aligned}}}$

используя тот факт, что инфимум по дорожкам в коллекции А достигается за ω(т) = т ⁄ Т. Этот результат можно эвристически интерпретировать как утверждающий, что для больших c и / или большой Т

${\displaystyle {\frac {\log \left(\mathbf {P} \left[\|B\|_{\infty }>c\right]\right)}{c^{2}}}\approx -{\frac {1}{2T}}\qquad {\text{or}}\qquad \mathbf {P} \left[\|B\|_{\infty }>c\right]\approx \exp \left(-{\frac {c^{2}}{2T}}\right).}$

На самом деле эту вероятность можно оценить более точно: при B стандартное броуновское движение в р^п, и любые Т, c и ε > 0 имеем:

${\displaystyle \mathbf {P} \left[\sup _{0\leq t\leq T}\left|{\sqrt {\varepsilon }}B_{t}\right|\geq c\right]\leq 4n\exp \left(-{\frac {c^{2}}{2nT\varepsilon }}\right).}$

Рекомендации

• Дембо, Амир; Зейтуни, Офер (1998). Методы и приложения больших отклонений. Приложения математики (Нью-Йорк) 38 (второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. xvi + 396. ISBN  0-387-98406-2. МИСТЕР  1619036. (См. Теорему 5.2)