Серия Schlömilchs - Schlömilchs series - Wikipedia

Серия Шлёмильха это Ряд Фурье разложение по типу дважды непрерывно дифференцируемой функции в интервале ${\displaystyle (0,\pi )}$ с точки зрения Функция Бесселя первого рода, названный в честь немецкого математика Оскар Шлёмильх, который вывел серию в 1857 г.^{[1][2][3][4][5]}. Действительная функция ${\displaystyle f(x)}$ имеет следующее расширение:

${\displaystyle f(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}J_{0}(nx),}$

куда

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}&=f(0)+{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{\pi /2}uf'(u\sin \theta )\ d\theta \ du,\\a_{n}&={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{\pi /2}u\cos nu\ f'(u\sin \theta )\ d\theta \ du.\end{aligned}}}$

Примеры

Вот некоторые примеры из серии Шлёмильха:

• ${\displaystyle x={\frac {\pi ^{2}}{4}}-2\sum _{n=1,3,...}^{\infty }{\frac {J_{0}(nx)}{n^{2}}},\quad 0<x<\pi .}$
• ${\displaystyle x^{2}={\frac {2\pi ^{2}}{3}}+8\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{2}}}J_{0}(nx),\quad -\pi <x<\pi .}$

Рекомендации

1. Шломильх, Г. (1857). О функции Бесселя. Zeitschrift fur Math, and Pkys., 2, 155–158.
2. Уиттакер, Э. Т., & Уотсон, Г.Н. (1996). Курс современного анализа. Пресса Кембриджского университета.
3. Лорд Рэйли (1911). LXII. О физической интерпретации теоремы Шлемильха в функциях Бесселя. Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал, 21 (124), 567-571.
4. Уотсон, Г.Н. (1995). Трактат по теории функций Бесселя. Пресса Кембриджского университета.
5. Чепмен, С. (1911). К общей теории суммируемости применительно к рядам Фурье и другим рядам. Ежеквартальный журнал, 43, 1-52.