Тензор Схоутена - Schouten tensor

В Риманова геометрия, то Тензор Схоутена второго порядка тензор представлен Ян Арнольдус Схоутен. Он определен для п ≥ 3 к:

${\displaystyle P={\frac {1}{n-2}}\left(\mathrm {Ric} -{\frac {R}{2(n-1)}}g\right)\,\Leftrightarrow \mathrm {Ric} =(n-2)P+Jg\,,}$

где Рик Тензор Риччи (определяется сжатием первого и третьего индексов тензора Римана), р это скалярная кривизна, грамм это Риманова метрика, ${\displaystyle J={\frac {1}{2(n-1)}}R}$ это след из п и п - размерность многообразия.

В Тензор Вейля равно Тензор кривизны Римана минус Кулькарни – Номидзу тензора Схоутена с метрикой. В индексной записи

${\displaystyle R_{ijkl}=W_{ijkl}+g_{ik}P_{jl}-g_{jk}P_{il}-g_{il}P_{jk}+g_{jl}P_{ik}\,.}$

Тензор Схоутена часто появляется в конформная геометрия из-за относительно простого закона конформного преобразования

${\displaystyle g_{ij}\mapsto \Omega ^{2}g_{ij}\Rightarrow P_{ij}\mapsto P_{ij}-\nabla _{i}\Upsilon _{j}+\Upsilon _{i}\Upsilon _{j}-{\frac {1}{2}}\Upsilon _{k}\Upsilon ^{k}g_{ij}\,,}$

куда ${\displaystyle \Upsilon _{i}:=\Omega ^{-1}\partial _{i}\Omega \,.}$

дальнейшее чтение

• Артур Л. Бесс, Многообразия Эйнштейна. Springer-Verlag, 2007. См. Главу 1 §J «Конформные изменения римановых метрик».
• Спирос Алексакис, Разложение глобальных конформных инвариантов. Princeton University Press, 2012. Ch.2, где в примечании отмечается, что тензор Схоутена является «скорректированным по трассе тензором Риччи» и может рассматриваться как «по существу тензор Риччи».
• Вольфганг Кунель и Ханс-Берт Радемахер, "Конформные диффеоморфизмы, сохраняющие тензор Риччи", Proc. Амер. Математика. Soc. 123 (1995), нет. 9, 2841–2848. В сети eprint (pdf).
• Т. Бэйли, М.Г. Иствуд и А. Говер, "Структура Томаса для конформных, проективных и родственных структур", Rocky Mountain Journal of Mathematics, вып. 24, номер 4, 1191-1217.

Смотрите также

• Теорема Вейля – Схоутена.
• Тензор хлопка