Теоремы Шредера – Бернштейна для операторных алгебр - Schröder–Bernstein theorems for operator algebras

В Теорема Шредера – Бернштейна. из теория множеств имеет аналоги в контексте операторные алгебры. В этой статье обсуждаются такие операторно-алгебраические результаты.

Для алгебр фон Неймана

Предполагать M это алгебра фон Неймана и E, F прогнозы в M. Обозначим через ~ Отношение эквивалентности Мюррея-фон Неймана на M. Определите частичный порядок «на семействе проекций по E « F если E ~ F ' ≤ F. Другими словами, E « F если существует частичная изометрия U ∈ M такой, что U * U = E и UU * ≤ F.

Для замкнутых подпространств M и N где проекции п_M и п_N, на M и N соответственно, являются элементами M, M « N если п_M « п_N.

В Теорема Шредера – Бернштейна. заявляет, что если M « N и N « M, тогда M ~ N.

Доказательство, подобное теоретико-множественному рассуждению, можно в общих чертах изложить следующим образом. В разговорной речи N « M Значит это N можно изометрически вложить в M. Так

{displaystyle M = M_ {0} supset N_ {0}}

куда N₀ является изометрической копией N в M. По предположению верно также и то, что N, следовательно N₀, содержит изометрическую копию M₁ из M. Поэтому можно написать

{displaystyle M = M_ {0} supset N_ {0} supset M_ {1}.}

По индукции

{displaystyle M = M_ {0} supset N_ {0} supset M_ {1} supset N_ {1} supset M_ {2} supset N_ {2} supset cdots.}

Ясно, что

{displaystyle R = cap _ {igeq 0} M_ {i} = cap _ {igeq 0} N_ {i}.}

Позволять

{displaystyle Mominus N {stackrel {mathrm {def}} {=}} Mcap (N) ^ {perp}.}

Так

{displaystyle M = oplus _ {igeq 0} (M_ {i} ominus N_ {i}) quad oplus quad oplus _ {jgeq 0} (N_ {j} ominus M_ {j + 1}) quad oplus R}

и

{displaystyle N_ {0} = oplus _ {igeq 1} (M_ {i} ominus N_ {i}) quad oplus quad oplus _ {jgeq 0} (N_ {j} ominus M_ {j + 1}) quad oplus R. }

Уведомление

{displaystyle M_ {i} ominus N_ {i} sim Mominus Nquad {mbox {для всех}} quad i.}

Теперь теорема следует из счетной аддитивности ~.

Представления C * -алгебр

Также существует аналог Шредера – Бернштейна для представлений C * -алгебры. Если А является C * -алгеброй, a представление из А является * -гомоморфизмом φ из А в L(ЧАС) ограниченные операторы в некотором гильбертовом пространстве ЧАС.

Если существует проекция п в L(ЧАС) куда п φ(а) = φ(а) п для каждого а в А, затем субпредставительство σ из φ можно определить естественным образом: σ(а) является φ(а) ограничено диапазоном п. Так φ то может быть выражено как прямая сумма двух подпредставлений φ = φ ' ⊕ σ.

Два представления φ₁ и φ₂, на ЧАС₁ и ЧАС₂ соответственно, называются унитарно эквивалентный если существует унитарный оператор U: ЧАС₂ → ЧАС₁ такой, что φ₁(а)U = Uφ₂(а), для каждого а.

В этой настройке Теорема Шредера – Бернштейна. читает:

Если два представления ρ и σ, на гильбертовых пространствах ЧАС и грамм соответственно, каждое унитарно эквивалентно субпредставлению другого, тогда они унитарно эквивалентны.

Можно выделить доказательство, напоминающее предыдущий аргумент. Предположение означает, что существуют сюръективные частичные изометрии из ЧАС к грамм и из грамм к ЧАС. Зафиксируем две такие частичные изометрии аргумента. Надо