Метод Шредингера - Schrödinger method

В комбинаторный математика и теория вероятности, то Метод Шредингера, названный в честь австрийского физика Эрвин Шредингер, используется для решения некоторых проблем распределение и размещение.

Предполагать

${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}\,}$

находятся независимый случайные переменные которые равномерно распределены на интервале [0, 1]. Позволять

${\displaystyle X_{(1)},\dots ,X_{(n)}\,}$

быть соответствующим статистика заказов, т.е. результат сортировки этих п случайные величины в порядке возрастания. Ищем вероятность какого-то события А определяется в терминах этой статистики заказов. Например, мы могли бы искать вероятность того, что в течение определенного семидневного периода было не более двух дней, в течение которых был получен только один телефонный звонок, учитывая, что количество телефонных звонков за это время было 20. Это предполагает равномерное распределение время прибытия.

Метод Шредингера начинается с присвоения распределение Пуассона с ожидаемое значение λt количеству наблюдений в интервале [0,т], причем количество наблюдений в неперекрывающихся подинтервалах является независимым (см. Пуассоновский процесс ). Номер N наблюдений распределяется по Пуассону с ожидаемым значениемλ. Тогда мы полагаемся на то, что условная возможность

${\displaystyle P(A\mid N=n)\,}$

не зависит от λ (на языке статистики, N это достаточная статистика за это параметризованная семья распределений вероятностей для порядковой статистики). Действуем следующим образом:

${\displaystyle P_{\lambda }(A)=\sum _{n=0}^{\infty }P(A\mid N=n)P(N=n)=\sum _{n=0}^{\infty }P(A\mid N=n){\lambda ^{n}e^{-\lambda } \over n!},}$

так что

${\displaystyle e^{\lambda }\,P_{\lambda }(A)=\sum _{n=0}^{\infty }P(A\mid N=n){\lambda ^{n} \over n!}.}$

Теперь отсутствие зависимости от п(А | N = п) на λ означает, что последняя сумма, указанная выше, является степенной ряд в λ и п(А | N = п) - стоимость его п-я производная в λ = 0, т.е.

${\displaystyle P(A\mid N=n)=\left[{d^{n} \over d\lambda ^{n}}\left(e^{\lambda }\,P_{\lambda }(A)\right)\right]_{\lambda =0}.}$

Чтобы этот метод был полезен при поиске п(А | N =п), должна быть возможность найти п_λ(А) более прямо, чем п(А | N = п). Что делает это возможным, так это независимость количества поступлений в неперекрывающиеся подинтервалы.