Неравенство Шурса - Schurs inequality - Wikipedia

В математика, Шура неравенство, названный в честь Иссай Шур, устанавливает, что для всех неотрицательный действительные числаИкс, у, z и т,

${\displaystyle x^{t}(x-y)(x-z)+y^{t}(y-z)(y-x)+z^{t}(z-x)(z-y)\geq 0}$

с равенством тогда и только тогда, когда х = у = г или два из них равны, а другой равен нулю. Когда т даже положительный целое число, неравенство выполняется для всех действительных чисел Икс, у и z.

Когда ${\displaystyle t=1}$, можно вывести следующий хорошо известный частный случай:

${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}+3xyz\geq xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z)}$

Доказательство

Поскольку неравенство симметрично по ${\displaystyle x,y,z}$ без ограничения общности можно считать, что ${\displaystyle x\geq y\geq z}$. Тогда неравенство

${\displaystyle (x-y)[x^{t}(x-z)-y^{t}(y-z)]+z^{t}(x-z)(y-z)\geq 0}$

очевидно, выполняется, поскольку каждый член в левой части неравенства неотрицателен. Это переходит к неравенству Шура.

Расширения

А обобщение неравенства Шура следующее: Предположим, что а, б, в положительные действительные числа. Если тройки (а, б, в) и (х, у, г) находятся аналогично отсортированный, то имеет место неравенство

${\displaystyle a(x-y)(x-z)+b(y-z)(y-x)+c(z-x)(z-y)\geq 0.}$

В 2007, румынский математик Валентин Ворнику показал, что имеет место еще одна обобщенная форма неравенства Шура:

Учитывать ${\displaystyle a,b,c,x,y,z\in \mathbb {R} }$, куда ${\displaystyle a\geq b\geq c}$, и либо ${\displaystyle x\geq y\geq z}$ или же ${\displaystyle z\geq y\geq x}$. Позволять ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}}$, и разреши ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{0}^{+}}$ быть либо выпуклый или же монотонный. Потом,

${\displaystyle {f(x)(a-b)^{k}(a-c)^{k}+f(y)(b-a)^{k}(b-c)^{k}+f(z)(c-a)^{k}(c-b)^{k}\geq 0}.}$

Стандартная форма Шура - это случай этого неравенства, когда Икс = а, у = б, z = c, k = 1, ƒ(м) = м^р.^[1]

Другое возможное расширение гласит, что если неотрицательные действительные числа ${\displaystyle x\geq y\geq z\geq v}$ с положительным вещественным числом т такие, что Икс + v ≥ у + z тогда^[2]

${\displaystyle x^{t}(x-y)(x-z)(x-v)+y^{t}(y-x)(y-z)(y-v)+z^{t}(z-x)(z-y)(z-v)+v^{t}(v-x)(v-y)(v-z)\geq 0.}$

Примечания

1. Ворнику, Валентин; Olimpiada de Matematica ... de la provocare la Experienta; Издательский дом ГИЛ; Залау, Румыния.
2. Финта, Бела (2015). «Неравенство типа Шура для пяти переменных». Технологии процедур. 19: 799–801. Дои:10.1016 / j.protcy.2015.02.114.