Теорема Шура о произведении - Schur product theorem

В математика, особенно в линейная алгебра, то Теорема Шура о произведении заявляет, что Произведение Адамара из двух положительно определенные матрицы также является положительно определенной матрицей. Результат назван в честь Иссай Шур^[1] (Schur 1911, стр. 14, теорема VII) (заметьте, что Шур подписался как J. Schur в Журнал für die reine und angewandte Mathematik.^[2][3])

Доказательство

Доказательство с использованием формулы следа

Для любых матриц ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$, произведение Адамара ${\displaystyle M\circ N}$ рассматривается как билинейная форма, действует на векторы ${\displaystyle a,b}$ в качестве

${\displaystyle a^{*}(M\circ N)b=\operatorname {tr} \left(M^{\textsf {T}}\operatorname {diag} \left(a^{*}\right)N\operatorname {diag} (b)\right)}$

куда ${\displaystyle \operatorname {tr} }$ это матрица след и ${\displaystyle \operatorname {diag} (a)}$ это диагональная матрица имея в качестве диагональных входов элементы ${\displaystyle a}$.

Предполагать ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ положительно определены, и поэтому Эрмитский. Мы можем рассматривать их квадратные корни ${\displaystyle M^{\frac {1}{2}}}$ и ${\displaystyle N^{\frac {1}{2}}}$, которые также являются эрмитскими, и пишем

${\displaystyle \operatorname {tr} \left(M^{\textsf {T}}\operatorname {diag} \left(a^{*}\right)N\operatorname {diag} (b)\right)=\operatorname {tr} \left({\overline {M}}^{\frac {1}{2}}{\overline {M}}^{\frac {1}{2}}\operatorname {diag} \left(a^{*}\right)N^{\frac {1}{2}}N^{\frac {1}{2}}\operatorname {diag} (b)\right)=\operatorname {tr} \left({\overline {M}}^{\frac {1}{2}}\operatorname {diag} \left(a^{*}\right)N^{\frac {1}{2}}N^{\frac {1}{2}}\operatorname {diag} (b){\overline {M}}^{\frac {1}{2}}\right)}$

Тогда для ${\displaystyle a=b}$, это записывается как ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(A^{*}A\right)}$ за ${\displaystyle A=N^{\frac {1}{2}}\operatorname {diag} (a){\overline {M}}^{\frac {1}{2}}}$ и поэтому строго положительно для ${\displaystyle A\neq 0}$, что происходит тогда и только тогда, когда ${\displaystyle a\neq 0}$. Это показывает, что ${\displaystyle (M\circ N)}$ - положительно определенная матрица.

Доказательство с использованием гауссова интегрирования

В случае если M = N

Позволять ${\displaystyle X}$ быть ${\displaystyle n}$-размерный центрированный Гауссовская случайная величина с ковариация ${\displaystyle \langle X_{i}X_{j}\rangle =M_{ij}}$. Тогда ковариационная матрица ${\displaystyle X_{i}^{2}}$ и ${\displaystyle X_{j}^{2}}$ является

${\displaystyle \operatorname {Cov} \left(X_{i}^{2},X_{j}^{2}\right)=\left\langle X_{i}^{2}X_{j}^{2}\right\rangle -\left\langle X_{i}^{2}\right\rangle \left\langle X_{j}^{2}\right\rangle }$

С помощью Теорема Вика разрабатывать ${\displaystyle \left\langle X_{i}^{2}X_{j}^{2}\right\rangle =2\left\langle X_{i}X_{j}\right\rangle ^{2}+\left\langle X_{i}^{2}\right\rangle \left\langle X_{j}^{2}\right\rangle }$ у нас есть

${\displaystyle \operatorname {Cov} \left(X_{i}^{2},X_{j}^{2}\right)=2\left\langle X_{i}X_{j}\right\rangle ^{2}=2M_{ij}^{2}}$

Поскольку ковариационная матрица положительно определена, это доказывает, что матрица с элементами ${\displaystyle M_{ij}^{2}}$ - положительно определенная матрица.

Общий случай

Позволять ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ быть ${\displaystyle n}$-размерный центрированный Гауссовские случайные величины с ковариации ${\displaystyle \left\langle X_{i}X_{j}\right\rangle =M_{ij}}$, ${\displaystyle \left\langle Y_{i}Y_{j}\right\rangle =N_{ij}}$ и независимы друг от друга, так что мы

${\displaystyle \left\langle X_{i}Y_{j}\right\rangle =0}$ для любого ${\displaystyle i,j}$

Тогда ковариационная матрица ${\displaystyle X_{i}Y_{i}}$ и ${\displaystyle X_{j}Y_{j}}$ является

${\displaystyle \operatorname {Cov} \left(X_{i}Y_{i},X_{j}Y_{j}\right)=\left\langle X_{i}Y_{i}X_{j}Y_{j}\right\rangle -\left\langle X_{i}Y_{i}\right\rangle \left\langle X_{j}Y_{j}\right\rangle }$

С помощью Теорема Вика разрабатывать

${\displaystyle \left\langle X_{i}Y_{i}X_{j}Y_{j}\right\rangle =\left\langle X_{i}X_{j}\right\rangle \left\langle Y_{i}Y_{j}\right\rangle +\left\langle X_{i}Y_{i}\right\rangle \left\langle X_{j}Y_{j}\right\rangle +\left\langle X_{i}Y_{j}\right\rangle \left\langle X_{j}Y_{i}\right\rangle }$

а также используя независимость ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$, у нас есть

${\displaystyle \operatorname {Cov} \left(X_{i}Y_{i},X_{j}Y_{j}\right)=\left\langle X_{i}X_{j}\right\rangle \left\langle Y_{i}Y_{j}\right\rangle =M_{ij}N_{ij}}$

Поскольку ковариационная матрица положительно определена, это доказывает, что матрица с элементами ${\displaystyle M_{ij}N_{ij}}$ - положительно определенная матрица.

Доказательство с использованием собственного разложения

Доказательство положительной полуопределенности

Позволять ${\displaystyle M=\sum \mu _{i}m_{i}m_{i}^{\textsf {T}}}$ и ${\displaystyle N=\sum \nu _{i}n_{i}n_{i}^{\textsf {T}}}$. потом

${\displaystyle M\circ N=\sum _{ij}\mu _{i}\nu _{j}\left(m_{i}m_{i}^{\textsf {T}}\right)\circ \left(n_{j}n_{j}^{\textsf {T}}\right)=\sum _{ij}\mu _{i}\nu _{j}\left(m_{i}\circ n_{j}\right)\left(m_{i}\circ n_{j}\right)^{\textsf {T}}}$

Каждый ${\displaystyle \left(m_{i}\circ n_{j}\right)\left(m_{i}\circ n_{j}\right)^{\textsf {T}}}$ положительно полуопределено (но, за исключением одномерного случая, не положительно определено, так как они классифицировать 1 матрицы). Также, ${\displaystyle \mu _{i}\nu _{j}>0}$ таким образом сумма ${\displaystyle M\circ N}$ также положительно полуопределено.

Доказательство определенности

Чтобы показать, что результат положительно определенный, требуются дополнительные доказательства. Покажем, что для любого вектора ${\displaystyle a\neq 0}$, у нас есть ${\displaystyle a^{\textsf {T}}(M\circ N)a>0}$. Продолжая, как указано выше, каждый ${\displaystyle a^{\textsf {T}}\left(m_{i}\circ n_{j}\right)\left(m_{i}\circ n_{j}\right)^{\textsf {T}}a\geq 0}$, поэтому остается показать, что существуют ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle j}$ для которых соответствующий член выше неотрицателен. Для этого заметим, что

${\displaystyle a^{\textsf {T}}(m_{i}\circ n_{j})(m_{i}\circ n_{j})^{\textsf {T}}a=\left(\sum _{k}m_{i,k}n_{j,k}a_{k}\right)^{2}}$

С ${\displaystyle N}$ положительно определен, существует ${\displaystyle j}$ для которого ${\displaystyle n_{j}\circ a\neq 0}$ (так как иначе ${\displaystyle n_{j}^{\textsf {T}}a=\sum _{k}(n_{j}\circ a)_{k}=0}$ для всех ${\displaystyle j}$), а также поскольку ${\displaystyle M}$ положительно определен, существует ${\displaystyle i}$ для которого ${\displaystyle \sum _{k}m_{i,k}(n_{j}\circ a)_{k}=m_{i}^{\textsf {T}}(n_{j}\circ a)\neq 0.}$ Однако эта последняя сумма просто ${\displaystyle \sum _{k}m_{i,k}n_{j,k}a_{k}}$. Таким образом, его квадрат положительный. Это завершает доказательство.

Рекомендации

1. "Bemerkungen zur Theorie der beschränkten Bilinearformen mit unendlich vielen Veränderlichen". Журнал für die reine und angewandte Mathematik. 1911 (140): 1–28. 1911. Дои:10.1515 / crll.1911.140.1.
2. Чжан, Фучжэнь, изд. (2005). «Дополнение Шура и его приложения». Численные методы и алгоритмы. 4. Дои:10.1007 / b105056. ISBN  0-387-24271-6. , стр.9, гл. 0,6 Издание под руководством Дж. Шура
3. Ледерманн, В. (1983). «Иссай Шур и его школа в Берлине». Бюллетень Лондонского математического общества. 15 (2): 97–106. Дои:10.1112 / blms / 15.2.97.

внешняя ссылка

• Bemerkungen zur Theorie der beschränkten Bilinearformen mit unendlich vielen Veränderlichen в EUDML