Сито Сельберга - Selberg sieve

Атле Сельберг

В математика, в области теория чисел, то Сито Сельберга это метод оценки размера «просеянных наборов» положительные целые числа которые удовлетворяют набору условий, которые выражаются совпадения. Он был разработан Атле Сельберг в 1940-е гг.

Описание

С точки зрения теория сита сито Сельберга комбинаторный тип: то есть происходит от осторожного использования принцип включения-исключения. Сельберг заменил значения Функция Мёбиуса которые возникают при этом с помощью системы весов, которые затем оптимизируются для решения данной задачи. Результат дает верхняя граница за размер просеянного набора.

Позволять А - набор натуральных чисел ≤ Икс и разреши п быть набором простых чисел. Позволять А_d обозначим множество элементов А делится на d когда d является произведением различных простых чисел из п. Далее пусть A₁ обозначать А сам. Позволять z быть положительным действительным числом и п(z) обозначают произведение простых чисел в п которые ≤ z. Задача сита - оценить

${displaystyle S(A,P,z)=leftvert Asetminus igcup _{pmid P(z)}A_{p}ightvert .}$

Мы предполагаем, что |А_d| можно оценить по

${displaystyle leftvert A_{d}ightvert ={frac {1}{f(d)}}X+R_{d}.}$

куда ж это мультипликативная функция и Икс   =   |А|, Пусть функция грамм быть полученным от ж к Инверсия Мёбиуса, то есть

${displaystyle g(n)=sum _{dmid n}mu (d)f(n/d)}$

${displaystyle f(n)=sum _{dmid n}g(d)}$

где μ - Функция Мёбиуса. Положить

${displaystyle V(z)=sum _{egin{smallmatrix}d<zdmid P(z)end{smallmatrix}}{frac {1}{g(d)}}.}$

потом

${displaystyle S(A,P,z)leq {frac {X}{V(z)}}+Oleft({sum _{egin{smallmatrix}d_{1},d_{2}<zd_{1},d_{2}mid P(z)end{smallmatrix}}leftvert R_{[d_{1},d_{2}]}ightvert }ight)}$

где D₁, d₂] обозначает наименьший общий множитель из d₁ и г₂. Часто бывает полезно оценить V(z) связью

${displaystyle V(z)geq sum _{dleq z}{frac {1}{f(d)}}.,}$

Приложения

• В Теорема Бруна – Титчмарша. по количеству простые числа в арифметической прогрессии;
• Количество п ≤ Икс такой, что п является совмещать к φ (п) асимптотична e^−γ Икс / журнал журнал журнал (Икс) .

Рекомендации

• Кожокару, Алина Кармен; Мурти, М. Рам (2005). Введение в ситовые методы и их применение. Тексты студентов Лондонского математического общества. 66. Издательство Кембриджского университета. С. 113–134. ISBN  0-521-61275-6. Zbl  1121.11063.
• Diamond, Harold G .; Хальберштам, Хайни (2008). Метод многомерного сита: с процедурами вычисления ситовых функций. Кембриджские трактаты по математике. 177. С Уильямом Ф. Голуэем. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-89487-6. Zbl  1207.11099.
• Гривз, Джордж (2001). Решета в теории чисел. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Фольге. 43. Берлин: Springer-Verlag. ISBN  3-540-41647-1. Zbl  1003.11044.
• Хальберштам, Хайни; Richert, H.E. (1974). Ситовые методы. Монографии Лондонского математического общества. 4. Академическая пресса. ISBN  0-12-318250-6. Zbl  0298.10026.
• Хули, Кристофер (1976). Приложения ситовых методов к теории чисел. Кембриджские трактаты по математике. 70. Издательство Кембриджского университета. С. 7–12. ISBN  0-521-20915-3. Zbl  0327.10044.
• Сельберг, Атле (1947). «Об элементарном методе теории простых чисел». Norske Vid. Сельск. Для ч. Тронхейм. 19: 64–67. ISSN  0368-6302. Zbl  0041.01903.