Уравнение Селлмейера - Sellmeier equation

Показатель преломления в зависимости от длины волны для Стекло ВК7, показывая измеренные точки (синие кресты) и уравнение Селлмайера (красная линия)

То же, что и на графике выше, но с уравнением Коши (синяя линия) для сравнения. В то время как уравнение Коши (синяя линия) значительно отклоняется от измеренных показателей преломления за пределами видимой области (которая заштрихована красным), уравнение Селлмейера (зеленая пунктирная линия) - нет.

В Уравнение Селлмейера является эмпирические отношения между показатель преломления и длина волны для конкретного прозрачный Средняя. Уравнение используется для определения разброс из свет в среде.

Впервые он был предложен в 1872 году Вильгельмом Зельмайером и являлся развитием работ Огюстен Коши на Уравнение Коши для моделирования рассеивания.^[1]

Уравнение

В своем первоначальном и наиболее общем виде уравнение Селлмейера имеет вид

${\displaystyle n^{2}(\lambda )=1+\sum _{i}{\frac {B_{i}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{i}}},}$,

где п - показатель преломления, λ - длина волны, а B_я и C_я экспериментально определены Sellmeier коэффициенты. Эти коэффициенты обычно указываются для λ в микрометры. Обратите внимание, что это λ - длина волны вакуума, а не длина волны в самом материале, которая равна λ / n. Иногда для определенных типов материалов используется другая форма уравнения, например кристаллы.

Каждый член суммы, представляющий поглощение резонанс силы B_я на длине волны √C_я. Например, коэффициенты для BK7 ниже соответствуют двум резонансам поглощения в ультрафиолетовый, и один в серединеинфракрасный область, край. Вблизи каждого пика поглощения уравнение дает нефизические значения п² = ± ∞, и в этих диапазонах длин волн более точная модель дисперсии, такая как Гельмгольца должны быть использованы.

Если все термины указаны для материала, на больших длинах волн вдали от пиков поглощения значение п как правило

${\displaystyle {\begin{matrix}n\approx {\sqrt {1+\sum _{i}B_{i}}}\approx {\sqrt {\varepsilon _{r}}}\end{matrix}},}$

где ε_р относительный диэлектрическая постоянная среды.

Для характеристики стекол обычно используется уравнение, состоящее из трех членов:^[2][3]

${\displaystyle n^{2}(\lambda )=1+{\frac {B_{1}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{1}}}+{\frac {B_{2}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{2}}}+{\frac {B_{3}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{3}}},}$

Например, коэффициенты для общего боросиликатный корона стекло известный как BK7 показаны ниже:

Коэффициент	Ценность
B1	1.03961212
B2	0.231792344
B3	1.01046945
C1	6.00069867×10^−3 мкм^2
C2	2.00179144×10^−2 мкм^2
C3	1.03560653×10^2 мкм^2

Коэффициенты Зельмейера для многих распространенных оптических материалов можно найти в онлайн-базе данных RefractiveIndex.info.

Для обычных оптических очков показатель преломления, рассчитанный с помощью трехчленного уравнения Селлмейера, отклоняется от фактического показателя преломления менее чем на 5 × 10.⁻⁶ в диапазоне длин волн^[4] от 365 нм до 2,3 мкм, что порядка гомогенности стеклянного образца.^[5] Иногда добавляются дополнительные условия, чтобы сделать расчет еще более точным.

Иногда уравнение Селлмейера используется в двухчленной форме:^[6]

${\displaystyle n^{2}(\lambda )=A+{\frac {B_{1}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{1}}}+{\frac {B_{2}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{2}}}.}$

Здесь коэффициент А представляет собой приближение вкладов коротковолнового (например, ультрафиолетового) поглощения в показатель преломления на более длинных волнах. Существуют и другие варианты уравнения Селлмейера, которые могут учитывать изменение показателя преломления материала из-за температура, давление, и другие параметры.

Коэффициенты

Таблица коэффициентов уравнения Селлмейера^[7]

Материал	B1	B2	B3	C1, мкм^2	C2, мкм^2	C3, мкм^2
боросиликатный корона стекло (известный как BK7)	1.03961212	0.231792344	1.01046945	6.00069867×10^−3	2.00179144×10^−2	103.560653
сапфир (для обыкновенная волна )	1.43134930	0.65054713	5.3414021	5.2799261×10^−3	1.42382647×10^−2	325.017834
сапфир (для необыкновенная волна )	1.5039759	0.55069141	6.5927379	5.48041129×10^−3	1.47994281×10^−2	402.89514
плавленый кварц	0.696166300	0.407942600	0.897479400	4.67914826×10^−3	1.35120631×10^−2	97.9340025
Фторид магния	0.48755108	0.39875031	2.3120353	0.001882178	0.008951888	566.13559

Смотрите также

• Уравнение Коши

использованная литература

1. Зельмайер, В. (1872). "Ueber die durch die Aetherschwingungen erregten Mitschwingungen der Körpertheilchen und deren Rückwirkung auf die ersteren, besonders zur Erklärung der Dispersion und ihrer Anomalien (II. Theil)". Annalen der Physik und Chemie. 223 (11): 386–403. Дои:10.1002 / andp.18722231105.
2. Показатель преломления и дисперсия. Технический информационный документ Schott TIE-29 (2007).
3. Пашотта, доктор Рюдигер. «Энциклопедия лазерной физики и техники - формула Селлмейера, показатель преломления, уравнение Селлмейера, формула дисперсии». www.rp-photonics.com. Получено 2018-09-14.
4. "Оптические свойства".
5. «Гарантия качества».
6. Гош, Горачанд (1997). «Коэффициенты Зельмейера и дисперсия термооптических коэффициентов для некоторых оптических стекол». Прикладная оптика. 36 (7): 1540. Bibcode:1997ApOpt..36.1540G. Дои:10.1364 / AO.36.001540. PMID  18250832.
7. «Архивная копия». Архивировано из оригинал на 2015-10-11. Получено 2015-01-16.

внешние ссылки

• RefractiveIndex.INFO База данных показателя преломления с коэффициентами Зельмейера для многих сотен материалов.
• Калькулятор на основе браузера, рассчитывающий показатель преломления на основе коэффициентов Селлмейера.
• Annalen der Physik - Бесплатный доступ, оцифрованный Французской национальной библиотекой
• Коэффициенты Селлмейера для 356 стаканов Охары, Хойи и Шотта