Полуинвариант колчана - Semi-invariant of a quiver

В математике, учитывая колчан Q с множеством вершин Q₀ и набор стрелок Q₁, а представление Q ставит в соответствие векторное пространство V_я каждой вершине и линейной карте V(α): V(s(α)) → V(т(α)) к каждой стрелке α, куда s(α), т(α) - соответственно начальная и конечная вершины α. Учитывая элемент d ∈ ℕ^Q₀, множество представлений Q с dimV_я = d(i) для каждого я имеет структуру векторного пространства.

Оно естественно наделено действием алгебраическая группа ∏_i∈Q0 GL (d(я)) одновременным изменением базы. Такое действие индуцирует единицу на кольце функций. Те, которые являются инвариантами с точностью до характера группы, называются полуинварианты. Они образуют кольцо, структура которого отражает репрезентативно-теоретические свойства колчан.

Определения

Пусть Q = (Q₀, Q₁,s,т) быть колчан. Рассмотрим вектор размерности d, то есть элемент в ℕ^Q₀. Набор d-мерные представления даются

${\displaystyle \operatorname {Rep} (Q,\mathbf {d} ):=\{V\in \operatorname {Rep} (Q):V_{i}=\mathbf {d} (i)\}}$

Однажды фиксированные базы для каждого векторного пространства V_я это можно отождествить с векторным пространством

${\displaystyle \bigoplus _{\alpha \in Q_{1}}\operatorname {Hom} _{k}(k^{\mathbf {d} (s(\alpha ))},k^{\mathbf {d} (t(\alpha ))})}$

Такое аффинное многообразие наделено действием алгебраической группы GL (d) := ∏_{я∈ Q0} GL (d(я)) одновременной заменой базы на каждой вершине:

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}GL(\mathbf {d} )\times \operatorname {Rep} (Q,\mathbf {d} )&\longrightarrow &\operatorname {Rep} (Q,\mathbf {d} )\\{\Big (}(g_{i}),(V_{i},V(\alpha )){\Big )}&\longmapsto &(V_{i},g_{t(\alpha )}\cdot V(\alpha )\cdot g_{s(\alpha )}^{-1})\end{array}}}$

По определению два модуля M,N ∈ Rep (Q,d) изоморфны тогда и только тогда, когда их GL (d) -орбиты совпадают.

У нас есть индуцированное действие на координатном кольце k[Rep (Q,d)] путем определения:

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}GL(\mathbf {d} )\times k[\operatorname {Rep} (Q,\mathbf {d} )]&\longrightarrow &k[\operatorname {Rep} (Q,\mathbf {d} )]\\(g,f)&\longmapsto &g\cdot f(-):=f(g^{-1}.-)\end{array}}}$

Полиномиальные инварианты

Элемент ж ∈ k[Rep (Q,d)] называется инвариантом (относительно GL (d)) если грамм⋅ж = ж для любого грамм ∈ GL (d). Набор инвариантов

${\displaystyle I(Q,\mathbf {d} ):=k[\operatorname {Rep} (Q,\mathbf {d} )]^{GL(\mathbf {d} )}}$

в общем случае является подалгеброй k[Rep (Q,d)].

Пример

Рассмотрим 1-петлевой колчан Q:

За d = (п) пространство представления End (k^п) и действие GL (п) дается обычным сопряжением. Инвариантное кольцо есть

${\displaystyle I(Q,\mathbf {d} )=k[c_{1},\ldots ,c_{n}]}$

где c_яs определены для любых А ∈ End (k^п), как коэффициенты характеристического полинома

${\displaystyle \det(A-t\mathbb {I} )=t^{n}-c_{1}(A)t^{n-1}+\cdots +(-1)^{n}c_{n}(A)}$

Полуинварианты

В случае, если Q не имеет ни петель, ни циклов, многообразие k[Rep (Q,d)] имеет единственную замкнутую орбиту, соответствующую единственному d-мерное полупростое представление, поэтому любая инвариантная функция постоянна.

Элементы, инвариантные относительно подгруппы SL (d) := ∏_{{я ∈ Q0}} SL (d(я)) образуют кольцо SI (Q,d) с более богатой структурой, называемой кольцом полуинвариантов. Он разлагается как

${\displaystyle SI(Q,\mathbf {d} )=\bigoplus _{\sigma \in \mathbb {Z} ^{Q_{0}}}SI(Q,\mathbf {d} )_{\sigma }}$

куда

${\displaystyle SI(Q,\mathbf {d} )_{\sigma }:=\{f\in k[\operatorname {Rep} (Q,\mathbf {d} )]:g\cdot f=\prod _{i\in Q_{0}}\det(g_{i})^{\sigma _{i}}f,\forall g\in GL(\mathbf {d} )\}.}$

Функция, принадлежащая SI (Q,d)_σ называется полуинвариантом весаσ.

Пример

Рассмотрим колчан Q:

${\displaystyle 1{\xrightarrow {\ \ \alpha \ }}2}$

Исправить d = (п,п). В этом случае k[Представитель (Q,(п,п))] конгруэнтно множеству квадратных матриц размера п: M(п). Определенная функция для любого B ∈ M(п), поскольку det^ты(B(α)) является полуинвариантом веса (ты,−ты) по факту

${\displaystyle (g_{1},g_{2})\cdot {\det }^{u}(B)={\det }^{u}(g_{2}^{-1}Bg_{1})={\det }^{u}(g_{1}){\det }^{-u}(g_{2}){\det }^{u}(B)}$

Кольцо полуинвариантов равно кольцу многочленов, порожденному функцией det, т.е.

${\displaystyle {\mathsf {SI}}(Q,\mathbf {d} )=k[\det ]}$

Характеризация типа представления с помощью теории полуинвариантов

Для колчанов конечного типа представлений, т. Е. Колчаны Дынкина, векторное пространство k[Rep (Q,d)] допускает открытую плотную орбиту. Другими словами, это предоднородное векторное пространство. Сато и Кимура описали кольцо полуинвариантов в таком случае.

Теорема Сато – Кимуры

Пусть Q - Дынкинский колчан, d вектор размерности. Пусть Σ - множество весов σ таких, что существует ж_σ ∈ SI (Q,d)_σ ненулевой и неприводимый. Тогда верны следующие свойства.

i) Для любого веса σ имеем dim_k SI (Q,d)_σ ≤ 1.

ii) Все веса из Σ линейно независимы над.

iii) SI (Q,d) - кольцо многочленов, порожденное ж_σs, σ ∈ Σ.

Кроме того, у нас есть интерпретация генераторов этой алгебры полиномов. Позволять О быть открытой орбитой, тогда k[Rep (Q,d)] \ О = Z₁ ∪ ... ∪ Z_т где каждый Z_я замкнуто и неприводимо. Можно предположить, что Z_яs расположены в порядке возрастания относительно коразмерности, так что первые л коразмерности один и Z_я - множество нулей неприводимого многочлена ж₁, то SI (Q,d) = k[ж₁, ..., ж_л].

Пример

В приведенном выше примере действие GL (п,п) имеет открытую орбиту на M(п), состоящий из обратимых матриц. Тогда сразу восстанавливаем SI (Q, (п,п)) = k[дет].

Сковронски – Вейман дал геометрическую характеристику класса ручных колчанов (т.е. Дынкин и Евклидовы колчаны ) в терминах полуинвариантов.

Теорема Сковронского – Веймана

Пусть Q - конечный связный колчан. Следующие варианты эквивалентны:

i) Q либо Дынкинский колчан или Евклидов колчан.

ii) Для каждого вектора размерности d, алгебра SI (Q,d) является полным пересечением.

iii) Для каждого вектора размерности d, алгебра SI (Q,d) является либо алгеброй многочленов, либо гиперповерхностью.

Пример

Рассмотрим Евклидов колчан Вопрос:

Выберите размерный вектор d = (1,1,1,1,2). Элемент V ∈ k[Rep (Q,d)] можно отождествить с 4-элементным (А₁, А₂, А₃, А₄) матриц в M(1,2). Вызов D_я,j функция, определенная на каждом V как det (А_я,А_j). Такие функции порождают кольцо полуинвариантов:

${\displaystyle SI(Q,\mathbf {d} )={\frac {k[D_{1,2},D_{3,4},D_{1,4},D_{2,3},D_{1,3},D_{2,4}]}{D_{1,2}D_{3,4}+D_{1,4}D_{2,3}-D_{1,3}D_{2,4}}}}$

Рекомендации

• Derksen, H .; Вейман, Дж. (2000), «Полуинварианты колчанов и насыщение для коэффициентов Литтлвуда – Ричардсона»., J. Amer. Математика. Soc., 3 (13): 467–479, МИСТЕР  1758750
• Сато, М .; Кимура, Т. (1977), «Классификация неприводимых предоднородных векторных пространств и их относительных инвариантов»., Nagoya Math. Дж., 65: 1–155, МИСТЕР  0430336
• Сковронски, А .; Вейман, Дж. (2000), "Алгебры полуинвариантов колчанов", Преобразовать. Группы, 5 (4): 361–402, Дои:10.1007 / bf01234798, МИСТЕР  1800533