Полулинейный отклик - Semilinear response

Движение вызывает переходы между уровнями замкнутой системы, что приводит к диффузии в энергетическом пространстве и, следовательно, к соответствующему нагреву. Коэффициент диффузии можно рассчитать, используя аналогию резисторной сети.

Теория полулинейного отклика (SLRT) является продолжением теория линейного отклика (LRT) для мезоскопический обстоятельства: LRT применяется, если управляемые переходы намного слабее / медленнее, чем эффект релаксации / дефазировки окружающей среды, тогда как SLRT предполагает противоположные условия. SLRT использует аналогию с резисторной сетью (см. Иллюстрацию) для расчета скорости поглощения энергии: возбуждение вызывает переходы между уровнями энергии, и связанные последовательности переходов необходимы для получения отличного от нуля результата, как в теории просачивание.

Приложения

Первоначальной мотивацией для внедрения SLRT было изучение мезоскопической проводимости.^[1][2][3].^[4]Термин SLRT был придуман в^[5]где она была применена для расчета поглощения энергии металлическими зернами. Позже теория была применена для анализа скорости нагрева атомов в колеблющихся ловушках.^[6]

Определение полулинейного отклика

Рассмотрим систему, управляемую источником ${\displaystyle f(t)}$ который имеет спектр мощности ${\displaystyle {\tilde {S}}(\omega )}$. Последний определяется как преобразование Фурье ${\displaystyle \langle f(t)f(0)\rangle }$.В теории линейного отклика (LRT) движущий источник вызывает установившееся состояние, которое лишь немного отличается от состояния равновесия.${\displaystyle G}$) - линейный функционал от спектра мощности:

${\displaystyle G=G[{\tilde {S}}(\omega )]=\int _{-\infty }^{\infty }\eta (\omega ){\tilde {S}}(\omega )\,d\omega }$

В традиционном контексте LRT ${\displaystyle G}$ представляет собой скорость нагрева, а ${\displaystyle \eta (\omega )}$ может быть определен как коэффициент поглощения.

${\displaystyle [A]\ \ \ \ {\tilde {S}}(\omega )\mapsto \lambda {\tilde {S}}(\omega ){\text{ implies }}G\mapsto \lambda G}$

${\displaystyle [B]\ \ \ \ {\tilde {S}}(\omega )\mapsto {\tilde {S}}_{1}(\omega )+{\tilde {S}}_{2}(\omega ){\text{ implies }}G\mapsto G_{1}+G_{2}}$

Если движение очень сильное, реакция становится нелинейной, что означает, что оба свойства [A] и [B] не выполняются. Но есть класс систем, реакция которых становится полулинейной, т.е. первое свойство [A] все еще сохраняется, но не [B].

Моделирование резисторной сети

SLRT применяется всякий раз, когда вождение достаточно сильное, так что переход в устойчивое состояние происходит медленно по сравнению с управляемой динамикой. Тем не менее предполагается, что система может быть смоделирована как сеть резисторов, математически выраженная как ${\displaystyle G=[[G_{nm}]]}$Обозначения ${\displaystyle [[G_{nm}]]}$ обозначает обычный электротехнический расчет проводимости двух выводов данной резисторной сети. Например, параллельные соединения подразумевают ${\displaystyle G=\sum _{nm}G_{nm}}$, а последовательные соединения подразумевают ${\displaystyle G=\left[\sum _{nm}G_{nm}^{-1}\right]^{-1}}$. Расчет резисторной цепи явно полулинейный, потому что он удовлетворяет ${\displaystyle [[\lambda A]]=\lambda [[A]]}$, а вообще ${\displaystyle [[A+B]]\neq [[A]]+[[B]]}$.

Золотое правило Ферми

В квантово-механическом расчете поглощения энергии ${\displaystyle G_{nm}}$ представляют собой скорости перехода по золотому правилу Ферми между уровнями энергии. Если связаны только соседние уровни, последовательное сложение подразумевает

${\displaystyle G=G[{\tilde {S}}(\omega )]=\left[\int _{-\infty }^{\infty }\mu (\omega ){\tilde {S}}(\omega )^{-1}\,d\omega \right]^{-1}}$

что явно полулинейное. Результаты для разреженных сетей, которые встречаются при анализе слабо хаотических управляемых систем, более интересны и могут быть получены с использованием схемы обобщенной перестройки диапазона (VRH).

Рекомендации

1. Коэн, Дорон; Коттос, Цампикос; Шанц, Хольгер (05.09.2006). «Скорость поглощения энергии замкнутым баллистическим кольцом». Журнал физики A: математические и общие. 39 (38): 11755–11771. arXiv:cond-mat / 0505295. Дои:10.1088/0305-4470/39/38/004. ISSN  0305-4470. S2CID  13946424.
2. Bandopadhyay, S; Etzioni, Y; Коэн, Д. (2006). «Проводимость многомодового баллистического кольца: за пределами Ландауэра и Кубо». Письма Europhysics (EPL). 76 (5): 739–745. arXiv:cond-mat / 0603484. Дои:10.1209 / epl / i2006-10360-9. ISSN  0295-5075. S2CID  14747016.
3. Стотланд, Александр; Будойо, Рангга; Пер, Таль; Коттос, Цампикос; Коэн, Дорон (2008-06-04). «Мезоскопическая проводимость неупорядоченных колец, его теория случайных матриц и обобщенная картина прыжков с переменной дальностью». Журнал физики A: математический и теоретический. IOP Publishing. 41 (26): 262001. arXiv:0712.0439. Дои:10.1088/1751-8113/41/26/262001. ISSN  1751-8113. S2CID  51758094.
4. Стотланд, Александр; Коттос, Цампикос; Коэн, Дорон (31 марта 2010 г.). «Случайно-матричное моделирование полулинейного отклика, обобщенной картины прыжков с переменным диапазоном и проводимости мезоскопических колец». Физический обзор B. 81 (11): 115464. arXiv:0908.3991. Дои:10.1103 / Physrevb.81.115464. ISSN  1098-0121. S2CID  53008179.
5. Уилкинсон, М; Mehlig, B; Коэн, Д. (2006). «Полулинейный отклик». Письма Europhysics (EPL). 75 (5): 709–715. arXiv:cond-mat / 0512070. Дои:10.1209 / epl / i2006-10182-9. ISSN  0295-5075. S2CID  118982511.
6. Stotland, A .; Cohen, D .; Дэвидсон, Н. (2009). «Полулинейный отклик на скорость нагрева холодных атомов в колеблющихся ловушках». EPL (Еврофизические письма). 86 (1): 10004. arXiv:0810.0360. Дои:10.1209/0295-5075/86/10004. ISSN  0295-5075. S2CID  5155754.